在四维空间中(或是三维或 N 维都可以) 我们可以任选一座标系(直角直线、直角曲线、斜角曲线等等) 在这坐标系中选定四个(或三个或 N 个，以下都以四个为例)基底向量 → g (μ我是习惯取 0~3，其中 0 表示类时分量，像时间、能量等等) μ 这些基底向量是线性独立的 而且也不需正交归一化 这样子的基底向量称为协变基向量 (covariant basis vector) → 任意向量 A 可以在此基底向量中展开 → μ→ A = A g μ μ 其中 A 称为逆变分量 (contravariant component) 因为这些基向量并不一定正交归一化 →ν 所以为了方便我们可以取另一组基向量 g ，使得 → →ν ν g ‧g = δ μ μ → →2 →3 以三维为例，g 垂直於 g 与 g 所展开的平面 1 →1 而 g 并不垂直於那个平面 这组基向量称为逆变基向量 (contravariant basis vector) → 任一向量 A 也可以在这组基向量中展开 → →μ A = A g μ 纯量(零阶张量)，与方向无关，因此不需加上基向量来表示 向量(一阶张量)，跟某个方向有关，因此需要一组基向量来表示 二阶张量，跟两个方向有关，因此需要两组基向量来表示： μν→ → ν→μ→ μ → →ν →μ→ν T = T g g = T g g = T g g = T g g ~ μ ν μ ν ν μ μν (这里我习惯用并乘，两个向量写在一起表示二阶张量，或是用张量积来表示也可以) 二阶张量的例子很多，如应力，μ方向的力作用在ν方向的面上 三阶以上张量依此类推 定义度规张量(metric tensor) g 如下： ~ → → g = g ‧g μν μ ν 当μ=ν时，g 表示长度的尺度 μν 当μ≠ν时，g 表示角度的尺度 μν 例如毕氏定理 2 2 2 i j s = x + y = g x x ij 这是在直角单位长度坐标下的展开，其度规张量为 g = 1, g = 0, g = 1 11 12 22 若取 x 方向的单位长度为 √2，即 g = 2, g = 0, g = 1 11 12 22 则毕氏定理变为 2 2 2 s = 2x + y 如果取长度为 1 的杆子横放在 x 轴上 则在此座标下量到的 x 值为 1/√2 这只是因为我们取的基底向量长度不一样而已 若在斜角单位长度座标下，则 2 2 2 s = x + 2cosθxy + y 所以 g = 1, g = cosθ, g = 1 11 12 12 所以度规张量完全决定了这个空间的几何性质 广义相对论，爱因斯坦方程式，即是在求解这个度规张量 不同的度规张量有不同的几何空间性质，如黑洞，史瓦兹(小孩)度规 http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric 在曲线座标中，基底向量是会随座标而改变的 所以如果我们对某一向量做微分 → ∂A →μ dA μ →μ ∂g ----- = ------- g + A ------- ν ν μ ν dx ∂x ∂x 将"基底向量对座标的偏微分"也对基底向量展开，即 →μ ∂g μ →ρ ------- = -Γ g ν νρ ∂x μ 这里的 Γ 即是 Christoffel (第二类)三指数符号 νρ 所以上式变为(将 dummy index μ跟ρ对调) → ∂A dA μ ρ →μ ----- = [------- - A Γ ] g ν ν ρ νμ dx ∂x 括号里是协变分量，所以可以定义为协变分量的协变导数 ∂A μ ρ A = ------- - A Γ μ;ν ν ρ νμ ∂x 同理可定义逆变分量的协变导数 μ μ ∂A ρ μ A = ------- + A Γ ;ν ν νρ ∂x 也可以定义逆变导数(我懒得写了 = =) 协变(逆变)导数跟一般导数的差别在於第二项 也就是跟 Christoffel 有关的那一项 那一项的原因在於基底向量是随座标而变化的 所以 Christoffel 符号就是在描述基底向量如何随着座标而变化 (广义地说是描述度规张量如何随着座标而变化) 用基底向量再去内积来内积去，可以得到 ∂g ∂g ∂g α 1 αμ μβ μγ βγ Γ = --- g {--------- + --------- - --------} βγ 2 γ β μ ∂x ∂x ∂x 所以重点还是度规张量 之後的 Riemann-Christoffel 曲率张量也是由 度规张量的二阶协变微分定义出来的 所以整个爱因斯坦方程式是度规张量的二阶微分方程式 解出来你就出名了 = =+ ※ 引述《jerry78424 (青松碧涛)》之铭言： : 这学期在学广义相对论....但是老师很多地方没讲 课本也没写 : μν μ : 像是度规g，g 跟g ，四维向量X 跟X : μν μ : μ : 还有christoffel symbol Γ 、Γ : αβ μαβ : 同学去借了张量分析的书，结果还是不懂.. : 请问这些上下标的差异到底在哪里啊？ : 还有他们的物理意义是？ --

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