寫成上標的東西我們叫他contravariant 下標則叫covariant 意思是轉換(Lorentz, rotation等等)的方式和basis vector一樣的叫covariant contravatiant有個contra在那邊除了代表轉換方式和basis 1-form (dual basis)一樣外 也是代表在乘的時候可以看成是transpose (當然不一定能寫成矩陣 但大概是這個意思) ex: basis vector的轉換 ㄅ T ㄅ e' = Λ(v) e = Λ(v) e (仔細看應該看得到ㄅ跟α的位置有換過) α α ㄅ α ㄅ 對應的1-form α α ㄅ ω' = Λ(v) ω ㄅ Λ(v)代表的是velocity v的pure boost, 不過其實只是個例子而已 也可以把1-form想成row vector, vector則寫成column vector 重要的是tensor的形式告訴了我們一個新的geometric object: 1-form 高中時我們都很習慣畫箭頭來代表vector這個geometric object 給定一個vector A A既然是一個geometric object, 所以選定不同的basis時, 寫出來的形式, 也就是 component會不太一樣 (ex: 在cartesian coordinate可能是(1,2,3), 在另一個亂七八 糟的basis可能是(-1,2,5)) 既然每個vector space都對應到一個dual vector space, 也就是1-form構成的space 所以它也是一個geometric object, 我們可以用不同的basis來表示這同一個東西 如果要畫圖的話可以用等位線來想像 不過事實上這個圖有瑕疵, 因為考慮的其實是在某個manifold上的一個點的tangent space 所以最好想成這個圖是無限小... 1-form另一種說法可以看成是一個把vector打到scalar的函數 n-form就是餵他n個vector他就送你一個scalar, 餵他n-1個vector他就給你一個1-form 比如說Faraday tensor (Griffiths電磁學最後一章的樣子 某處有出現一個矩陣) F是一個(0 2)-tensor 就是一個2-form (有兩個下標, 餵兩個vector送一個scalar) stress-energy tensor則是一個(1 1)-tensor (有一個上標和一個下標,餵一個1-form跟一個vector送一個scalar) etc.. n-form好用之處還有一點是可以取Hodge dual來表示高維度裡的curl, divergence等概念 -- 拉哩拉雜打了一堆也不知道看不看得懂.... -- 我愛跳針，我是猴子王。 ˍˍ ▉猴跳▏ ▉王針▏ ▇▇ --

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