写成上标的东西我们叫他contravariant 下标则叫covariant 意思是转换(Lorentz, rotation等等)的方式和basis vector一样的叫covariant contravatiant有个contra在那边除了代表转换方式和basis 1-form (dual basis)一样外 也是代表在乘的时候可以看成是transpose (当然不一定能写成矩阵 但大概是这个意思) ex: basis vector的转换 ㄅ T ㄅ e' = Λ(v) e = Λ(v) e (仔细看应该看得到ㄅ跟α的位置有换过) α α ㄅ α ㄅ 对应的1-form α α ㄅ ω' = Λ(v) ω ㄅ Λ(v)代表的是velocity v的pure boost, 不过其实只是个例子而已 也可以把1-form想成row vector, vector则写成column vector 重要的是tensor的形式告诉了我们一个新的geometric object: 1-form 高中时我们都很习惯画箭头来代表vector这个geometric object 给定一个vector A A既然是一个geometric object, 所以选定不同的basis时, 写出来的形式, 也就是 component会不太一样 (ex: 在cartesian coordinate可能是(1,2,3), 在另一个乱七八 糟的basis可能是(-1,2,5)) 既然每个vector space都对应到一个dual vector space, 也就是1-form构成的space 所以它也是一个geometric object, 我们可以用不同的basis来表示这同一个东西 如果要画图的话可以用等位线来想像 不过事实上这个图有瑕疵, 因为考虑的其实是在某个manifold上的一个点的tangent space 所以最好想成这个图是无限小... 1-form另一种说法可以看成是一个把vector打到scalar的函数 n-form就是喂他n个vector他就送你一个scalar, 喂他n-1个vector他就给你一个1-form 比如说Faraday tensor (Griffiths电磁学最後一章的样子 某处有出现一个矩阵) F是一个(0 2)-tensor 就是一个2-form (有两个下标, 喂两个vector送一个scalar) stress-energy tensor则是一个(1 1)-tensor (有一个上标和一个下标,喂一个1-form跟一个vector送一个scalar) etc.. n-form好用之处还有一点是可以取Hodge dual来表示高维度里的curl, divergence等概念 -- 拉哩拉杂打了一堆也不知道看不看得懂.... -- 我爱跳针，我是猴子王。 ˍˍ ▉猴跳▏ ▉王针▏ ▇▇ --

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