作者zweisteine (聖人見微以知萌)
看板Physics
標題Re: [問題] 共同本徵態問題
時間Wed Nov 18 09:36:55 2009
※ 引述《kevin60405 (廷廷)》之銘言：
: 請問一下各位
: 在無限位能井中
: 當知道粒子的動量時 則粒子的能量也同時能知道
: 所以粒子的動量跟能量可以"同時精確測量"
: 那不就表示在無限位能井中
: 應存有能量和動量的共同本徵態
: 可是為什麼卻找不到?
: 我問系上量力教授它也覺得應該要有
: 他說需要一點時間來想想
確實[H,P]=0，但是這只表示如果能量本徵態和動量本徵態都存在的話，
這兩個可以同時共存而已，不代表就一定存在。
如果存在動量的本徵態，代表存在Δp=0的狀態，
但是因為粒子被束縛在無限位能井中，Δx一定有上限(再怎麼大也不能大過L)
所以不可能存在動量本徵態。
也可以用駐波來想，邊界條件限制波函數只能形成駐波，
但是動量本徵態一定是行進波(因為駐波的動量期望值一定是零)
所以動量本徵態不存在。
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◆ From: 82.139.81.176
1F：→ andyphy:動量期望值一定為0 ? 11/18 12:23
2F：推 chungweitw: Yes. 零 11/18 13:19
3F：→ chungweitw:不過, 我覺得[H,P] !=0. 因為完整的 H 包括了V(x) 11/18 13:21
4F：→ chungweitw:所以我偏向以下看法: 11/18 13:28
5F：→ chungweitw:P 有eignestates. 但是 P 的 eigenstates 不是 H 的 11/18 13:29
6F：→ chungweitw:eigenstates 11/18 13:29
7F：→ chungweitw:因為, 在討論eigenstates 時, 是不會加入邊界條件的. 11/18 13:30
8F：→ chungweitw:就是一個單純的 eigenvalue equation 而已 11/18 13:31
9F：→ chungweitw:只不過這邊的動量本徵態不是H的本徵態. 11/18 13:33
10F：→ chungweitw:而在H的本徵態下, <P>=0 11/18 13:34
11F：→ Keelungman:不存在 P 的 eigenstate, 因為沒有平移對稱性 11/18 16:03
我的想法是這受用什麼角度看這個問題的影響，
因為這影響到Hilbert space怎麼定義
如果把x的定義域看成無限大的話，
這時也不存在所謂的邊界條件，而是所有的資訊都在V(x)裡面
我想這時後的論證應該就是像chungweitw板友說的這樣沒錯。
基隆男的切入角度也是比較接近這個方向，
因為V(x)破壞了平移對稱性(外力使系統的動量不守恆)，所以P的eigenstate無法存在
這個描述的優點是比較物理，也完全不破壞原本問題的物理描述
(x在原本的描述中本來就是沒有範圍的)
這個描述的Hilbert space比較大，其中包含了momentum eigenstate，
但是物理定律的其他要求使它無法成為physical state。
不過因為無限大的位能數學上處理起來實在是不太方便，
所以雖然物理上的描述不變，
但是通常在考慮這個問題的時候都是先以物理的推論，
說明為什麼波函數位能井外都是零，然後以此為邊界條件開始所有的計算。
然後V(x)的資訊被邊界條件吸收，接下來把他當零就好。
只要有邊界的話，邊界條件就會影響到Hilbert space的定義，
因為operator必須是Hermitian。
也就是說，並非在P|ψ>=p|ψ>這個eigenvalue equation中考慮邊界條件，
兒是在P必須是Hermitian的要求中自動考慮了。
這個要求相當於∫f*(d/dx)g dx=-∫(d/dx)f* g dx，
也就是(f* g)_L-(f* g)_0=0，
而邊界條件剛好也使這個要求被滿足。
P的Hermicity的要求，以及P|ψ>=p|ψ>這個eigenvalue equation，
合起來的等價描述就是-ih(d/dx)Ψ=PΨ這個微分方程無解
※ 編輯: zweisteine 來自: 82.139.81.176 (11/18 19:34)
※ 編輯: zweisteine 來自: 82.139.81.176 (11/18 19:43)
12F：推 chungweitw:完全同意您說的. 只不過我個人不是這樣喜歡如此選擇. 11/18 21:58
13F：→ chungweitw:因為, 如果你不考慮邊界(含以外) V(x) -> infty 的話, 11/18 21:59
14F：→ chungweitw:那麼就意味著你也可以選擇一個 periodic b.c. 使得 p 11/18 21:59
15F：→ chungweitw:是Hermitian. 於是這樣 P 的 eigenstates 則依然存在. 11/18 22:00
16F：→ chungweitw:( 這是通常在 solid state 裡面的邊界條件取法. 雖然 11/18 22:00
17F：→ chungweitw:系統是有些不同 ). 於是你的 P 得 eigenstates 是否 11/18 22:01
18F：→ chungweitw:存在, 就取決於 b.c. 的取法. 11/18 22:02
19F：→ chungweitw:而現在b.c. 的波函數 = 0. 因為我們知道V(邊界)->infty 11/18 22:03
20F：→ kevin60405:但是動量知道 能量不是也知道 11/18 22:14
21F：→ kevin60405:不就表示動量與能量可以同時精確測量? 11/18 22:14
22F：→ chungweitw:No..這邊只知道 <P^2> 11/18 22:15
23F：→ kevin60405:對不起 我還是不懂ㄝ 知道能量後 能量又=p^2/2m 11/18 22:29
24F：→ kevin60405:不是也知道動量 這跟"自由粒子"知道能量也知道動量 11/18 22:29
25F：→ kevin60405:不是相同嗎? 11/18 22:30
就算是自由粒子，從E只能知道P^2是多少，從P^2只能知道|P|是多少(動量的絕對值)
動量是個向量，就算是一維系統也還是有兩個方向，
只知道大小並不算是真的知道動量
波函數只能寫成a1 e^(ipx/h)+a2 e^(-ipx/h)
其實你並不真的知道粒子往哪個方向跑
P的期望值也還沒特定，因為你不知道a1和a2
※ 編輯: zweisteine 來自: 82.139.81.176 (11/18 22:58)
26F：→ kevin60405:但是自由粒子能量與動量具有共同本徵態 11/18 23:01
27F：→ kevin60405:不就表示能量與動量可以"同時精確測量" 11/18 23:01
你的敘述是對的，但這是因為[P^2,P]=0，不是因為知道P^2就可以知道P
自由粒子知道P可以知道E，反過來就不成立。
以wave collapse來說(雖然我個人不喜歡wave collapse這個講法)，
你量到E之後，波函數collapse成
a1 e^(ipx/h)+a2 e^(-ipx/h)，這時你知道能量但是不知道動量。
如果之後你可以再去量他的動量，這時a1或a2的其中一項變成零，
但是對Hamiltonion來說這個變化並不影響粒子繼續存在於原本的energy eigenstate。
也就是所謂的同時精確測量。
反過來說如果一開始先量動量，
則會變成e^(ipx/h)或e^(-ipx/h)其中之一，
這時自然可以推出能量是多少。
回到無限位能井，
我原先的講法是先從無限位能井的物理特性定義出x的定義域和邊界條件，
因為如此所以週期性邊界條件已經在這裡被排除。
然後讓V在定義範圍內處處是零後定義Hilbert space，
這個角度出發的話找不出H和P的共同本徵態是因為後者不存在。
如果你覺得不喜歡這個講法或是會讓你卡住的話，
也可以用chungweitw板友的角度來說：
首先還是要定義x的範圍為無限大，
能量與動量是否具有共同本徵態，要看H和P是否可交換。
無限位能井的H=P^2/2m+V
而[H,P]=[P^2/2m+V,P]=[V,P]
因為V(x)有jump，所以和P(微分)不可交換，
因此不存在共同本徵態。
※ 編輯: zweisteine 來自: 82.139.81.176 (11/18 23:52)
※ 編輯: zweisteine 來自: 82.139.81.176 (11/19 00:00)