作者zweisteine (圣人见微以知萌)
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标题Re: [问题] 共同本徵态问题
时间Wed Nov 18 09:36:55 2009
※ 引述《kevin60405 (廷廷)》之铭言：
: 请问一下各位
: 在无限位能井中
: 当知道粒子的动量时 则粒子的能量也同时能知道
: 所以粒子的动量跟能量可以"同时精确测量"
: 那不就表示在无限位能井中
: 应存有能量和动量的共同本徵态
: 可是为什麽却找不到?
: 我问系上量力教授它也觉得应该要有
: 他说需要一点时间来想想
确实[H,P]=0，但是这只表示如果能量本徵态和动量本徵态都存在的话，
这两个可以同时共存而已，不代表就一定存在。
如果存在动量的本徵态，代表存在Δp=0的状态，
但是因为粒子被束缚在无限位能井中，Δx一定有上限(再怎麽大也不能大过L)
所以不可能存在动量本徵态。
也可以用驻波来想，边界条件限制波函数只能形成驻波，
但是动量本徵态一定是行进波(因为驻波的动量期望值一定是零)
所以动量本徵态不存在。
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◆ From: 82.139.81.176
1F：→ andyphy:动量期望值一定为0 ? 11/18 12:23
2F：推 chungweitw: Yes. 零 11/18 13:19
3F：→ chungweitw:不过, 我觉得[H,P] !=0. 因为完整的 H 包括了V(x) 11/18 13:21
4F：→ chungweitw:所以我偏向以下看法: 11/18 13:28
5F：→ chungweitw:P 有eignestates. 但是 P 的 eigenstates 不是 H 的 11/18 13:29
6F：→ chungweitw:eigenstates 11/18 13:29
7F：→ chungweitw:因为, 在讨论eigenstates 时, 是不会加入边界条件的. 11/18 13:30
8F：→ chungweitw:就是一个单纯的 eigenvalue equation 而已 11/18 13:31
9F：→ chungweitw:只不过这边的动量本徵态不是H的本徵态. 11/18 13:33
10F：→ chungweitw:而在H的本徵态下, <P>=0 11/18 13:34
11F：→ Keelungman:不存在 P 的 eigenstate, 因为没有平移对称性 11/18 16:03
我的想法是这受用什麽角度看这个问题的影响，
因为这影响到Hilbert space怎麽定义
如果把x的定义域看成无限大的话，
这时也不存在所谓的边界条件，而是所有的资讯都在V(x)里面
我想这时後的论证应该就是像chungweitw板友说的这样没错。
基隆男的切入角度也是比较接近这个方向，
因为V(x)破坏了平移对称性(外力使系统的动量不守恒)，所以P的eigenstate无法存在
这个描述的优点是比较物理，也完全不破坏原本问题的物理描述
(x在原本的描述中本来就是没有范围的)
这个描述的Hilbert space比较大，其中包含了momentum eigenstate，
但是物理定律的其他要求使它无法成为physical state。
不过因为无限大的位能数学上处理起来实在是不太方便，
所以虽然物理上的描述不变，
但是通常在考虑这个问题的时候都是先以物理的推论，
说明为什麽波函数位能井外都是零，然後以此为边界条件开始所有的计算。
然後V(x)的资讯被边界条件吸收，接下来把他当零就好。
只要有边界的话，边界条件就会影响到Hilbert space的定义，
因为operator必须是Hermitian。
也就是说，并非在P|ψ>=p|ψ>这个eigenvalue equation中考虑边界条件，
儿是在P必须是Hermitian的要求中自动考虑了。
这个要求相当於∫f*(d/dx)g dx=-∫(d/dx)f* g dx，
也就是(f* g)_L-(f* g)_0=0，
而边界条件刚好也使这个要求被满足。
P的Hermicity的要求，以及P|ψ>=p|ψ>这个eigenvalue equation，
合起来的等价描述就是-ih(d/dx)Ψ=PΨ这个微分方程无解
※ 编辑: zweisteine 来自: 82.139.81.176 (11/18 19:34)
※ 编辑: zweisteine 来自: 82.139.81.176 (11/18 19:43)
12F：推 chungweitw:完全同意您说的. 只不过我个人不是这样喜欢如此选择. 11/18 21:58
13F：→ chungweitw:因为, 如果你不考虑边界(含以外) V(x) -> infty 的话, 11/18 21:59
14F：→ chungweitw:那麽就意味着你也可以选择一个 periodic b.c. 使得 p 11/18 21:59
15F：→ chungweitw:是Hermitian. 於是这样 P 的 eigenstates 则依然存在. 11/18 22:00
16F：→ chungweitw:( 这是通常在 solid state 里面的边界条件取法. 虽然 11/18 22:00
17F：→ chungweitw:系统是有些不同 ). 於是你的 P 得 eigenstates 是否 11/18 22:01
18F：→ chungweitw:存在, 就取决於 b.c. 的取法. 11/18 22:02
19F：→ chungweitw:而现在b.c. 的波函数 = 0. 因为我们知道V(边界)->infty 11/18 22:03
20F：→ kevin60405:但是动量知道 能量不是也知道 11/18 22:14
21F：→ kevin60405:不就表示动量与能量可以同时精确测量? 11/18 22:14
22F：→ chungweitw:No..这边只知道 <P^2> 11/18 22:15
23F：→ kevin60405:对不起 我还是不懂ㄝ 知道能量後 能量又=p^2/2m 11/18 22:29
24F：→ kevin60405:不是也知道动量 这跟"自由粒子"知道能量也知道动量 11/18 22:29
25F：→ kevin60405:不是相同吗? 11/18 22:30
就算是自由粒子，从E只能知道P^2是多少，从P^2只能知道|P|是多少(动量的绝对值)
动量是个向量，就算是一维系统也还是有两个方向，
只知道大小并不算是真的知道动量
波函数只能写成a1 e^(ipx/h)+a2 e^(-ipx/h)
其实你并不真的知道粒子往哪个方向跑
P的期望值也还没特定，因为你不知道a1和a2
※ 编辑: zweisteine 来自: 82.139.81.176 (11/18 22:58)
26F：→ kevin60405:但是自由粒子能量与动量具有共同本徵态 11/18 23:01
27F：→ kevin60405:不就表示能量与动量可以"同时精确测量" 11/18 23:01
你的叙述是对的，但这是因为[P^2,P]=0，不是因为知道P^2就可以知道P
自由粒子知道P可以知道E，反过来就不成立。
以wave collapse来说(虽然我个人不喜欢wave collapse这个讲法)，
你量到E之後，波函数collapse成
a1 e^(ipx/h)+a2 e^(-ipx/h)，这时你知道能量但是不知道动量。
如果之後你可以再去量他的动量，这时a1或a2的其中一项变成零，
但是对Hamiltonion来说这个变化并不影响粒子继续存在於原本的energy eigenstate。
也就是所谓的同时精确测量。
反过来说如果一开始先量动量，
则会变成e^(ipx/h)或e^(-ipx/h)其中之一，
这时自然可以推出能量是多少。
回到无限位能井，
我原先的讲法是先从无限位能井的物理特性定义出x的定义域和边界条件，
因为如此所以周期性边界条件已经在这里被排除。
然後让V在定义范围内处处是零後定义Hilbert space，
这个角度出发的话找不出H和P的共同本徵态是因为後者不存在。
如果你觉得不喜欢这个讲法或是会让你卡住的话，
也可以用chungweitw板友的角度来说：
首先还是要定义x的范围为无限大，
能量与动量是否具有共同本徵态，要看H和P是否可交换。
无限位能井的H=P^2/2m+V
而[H,P]=[P^2/2m+V,P]=[V,P]
因为V(x)有jump，所以和P(微分)不可交换，
因此不存在共同本徵态。
※ 编辑: zweisteine 来自: 82.139.81.176 (11/18 23:52)
※ 编辑: zweisteine 来自: 82.139.81.176 (11/19 00:00)