當考慮 y = Σfi i 時，fi 的單位跟 y 相同 但若廣義化，使得 fi = f(xi)，也就是 f 是離散座標 xi 的函數，則 y = Σf(xi)Δxi i 這時候 f 的單位就必須變成 y 的單位除以 x 的單位 如果取極限使得Δxi無限小，那就變成績分的概念 y = ∫f(x)dx 所以在積分下，y 跟 f 的單位通常都會差個自變數的單位 δ函數的定義為 ∫δ(x)dx = 1 若 x 是長度，那δ的單位就是 1/長度 若是體積，那δ的單位就是 1/體積 若自變數為 k ∫δ(k)dk = 1 那δ的單位就是 1/k 因為 1 沒有單位，即無因次 若 f(r) 存在一轉換函數 F(k)，使得 (以傅利葉轉換為例) http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform f(r) = A∫dk F(k) e^(ikr) F(k) = B∫dr f(r) e^(-ikr) 則將第二式代入第一式可以得到 f(r) = AB∫dk∫dr'f(r') e^ik(r-r') = 2πAB∫dξ∫dr'f(r') e^i[2πξ(r-r')] (令 k = 2πξ) = 2πAB∫dr'f(r')δ(r-r') = 2πAB f(r) 所以 AB = 1/2π 可以有三種選擇： 1. A = 1; B = 1/2π 2. A = B = √(1/2π) 3. A = 1/2π; B = 1 看方便去選擇，有共識就好 通常有物理意義的是 f(r)，這時 F(k) 僅有數學意義，但也會賦予物理解釋 單位也會隨選擇不同而有所不同 當 k 離散化後，體積會跑出來 但計算過程還是一樣，意義也是一樣 會離散化的原因在於邊界條件的選擇 比如在長度L的系統中，函數sin(kr)在邊界的值為零 這時符合邊界條件的 sin(kr) 就只有 n k = 2π---, 其中 n 為整數 L 所以原本需要將所有可能的 k 累加起來的∫dk 只要取離散的Σ_k 即可 注意一下∫dk 變換到Σ_k 時會有單位的不同 ※ 引述《yyc2008 ()》之銘言： : 我想請教一個Fourier transform在晶格上面的問題 : 學QM時使用exp(ikx)為基底 : 常常歸一化時用到(1/2π)∫exp(ik(x-x'))dx = δ(x-x') 這裡應該是 dk : 但是當實際上用在晶格的時候 : Fourier Transform為何限定在V內 : 歸一化不再是(1/2π)而是V : (1/2π)這個沒單位的東西地位和V體積竟然一樣!? : 為什麼算晶格的時候要(1/V) 有什麼意的數學根據? 可以寫出來告訴我嗎? 謝謝 : r k 是向量 : ∞ : f(r) = (1/V) Σ F(k)e^(ikr) : ek = -∞ : F(k) = ∫dr f(r) e^(-ikr) : V : 2.另外一個問題是為何一個是Σ離散 : 另外一個是∫連續? : 感謝回答 --

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