当考虑 y = Σfi i 时，fi 的单位跟 y 相同 但若广义化，使得 fi = f(xi)，也就是 f 是离散座标 xi 的函数，则 y = Σf(xi)Δxi i 这时候 f 的单位就必须变成 y 的单位除以 x 的单位 如果取极限使得Δxi无限小，那就变成绩分的概念 y = ∫f(x)dx 所以在积分下，y 跟 f 的单位通常都会差个自变数的单位 δ函数的定义为 ∫δ(x)dx = 1 若 x 是长度，那δ的单位就是 1/长度 若是体积，那δ的单位就是 1/体积 若自变数为 k ∫δ(k)dk = 1 那δ的单位就是 1/k 因为 1 没有单位，即无因次 若 f(r) 存在一转换函数 F(k)，使得 (以傅利叶转换为例) http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform f(r) = A∫dk F(k) e^(ikr) F(k) = B∫dr f(r) e^(-ikr) 则将第二式代入第一式可以得到 f(r) = AB∫dk∫dr'f(r') e^ik(r-r') = 2πAB∫dξ∫dr'f(r') e^i[2πξ(r-r')] (令 k = 2πξ) = 2πAB∫dr'f(r')δ(r-r') = 2πAB f(r) 所以 AB = 1/2π 可以有三种选择： 1. A = 1; B = 1/2π 2. A = B = √(1/2π) 3. A = 1/2π; B = 1 看方便去选择，有共识就好 通常有物理意义的是 f(r)，这时 F(k) 仅有数学意义，但也会赋予物理解释 单位也会随选择不同而有所不同 当 k 离散化後，体积会跑出来 但计算过程还是一样，意义也是一样 会离散化的原因在於边界条件的选择 比如在长度L的系统中，函数sin(kr)在边界的值为零 这时符合边界条件的 sin(kr) 就只有 n k = 2π---, 其中 n 为整数 L 所以原本需要将所有可能的 k 累加起来的∫dk 只要取离散的Σ_k 即可 注意一下∫dk 变换到Σ_k 时会有单位的不同 ※ 引述《yyc2008 ()》之铭言： : 我想请教一个Fourier transform在晶格上面的问题 : 学QM时使用exp(ikx)为基底 : 常常归一化时用到(1/2π)∫exp(ik(x-x'))dx = δ(x-x') 这里应该是 dk : 但是当实际上用在晶格的时候 : Fourier Transform为何限定在V内 : 归一化不再是(1/2π)而是V : (1/2π)这个没单位的东西地位和V体积竟然一样!? : 为什麽算晶格的时候要(1/V) 有什麽意的数学根据? 可以写出来告诉我吗? 谢谢 : r k 是向量 : ∞ : f(r) = (1/V) Σ F(k)e^(ikr) : ek = -∞ : F(k) = ∫dr f(r) e^(-ikr) : V : 2.另外一个问题是为何一个是Σ离散 : 另外一个是∫连续? : 感谢回答 --

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