作者mantour (朱子)
看板Physics
標題Re: [問題] 量子力學中的角動量
時間Thu Oct 29 21:32:02 2009
最近很久沒發有意義的文XD
chungweitw:參考一下 D. Judge, Phys. Lett. 5, 189 (1963)
幫摘要一下這篇文章
這篇文章主要是在探討
按照一般課本上看到的證明
一個坐標 x，與其對應的momentum p (相應於算符 d/dx)
具有關係△p * △x >= h-bar/2
然而對於角動量和角度
這個關係式顯然並不正確
因為對任意的ψ(θ)
直觀上△θ最大時， 應該是當θ平均分布時
而此時的 △θ 為 pi/sqrt(3)
( 這邊微積分算一下便知，在下就不現醜了 )
而不是無限大
這邊要注意的是算△θ時，要考慮θ的周期性
例如，如果θ有1/2的機率等於pi，1/2等於-pi
這樣算出來的△θ應該是 0 ， 而不是 √[(pi^2+(-pi)^2)/2] = pi
因為實際上 -pi 和 pi應該是同一個角度
所以△θ的定義和平常有點不同
照這篇文章的寫法，令
pi
V(r) = ∫ Ψ(θ+r)*(θ+r)Ψ(θ+r) dθ
-pi
而 Δθ^2 = min V(r)
r
而同這樣的定義，照一般導x-p uncertainty relation的方式
可以得到(可惜這篇文章沒有把證明寫出來)
ΔL_z Δθ[ 1 - 3 (Δθ)^2 ] >= h-bar/2
從而當ΔL_z -> 0時，Δθ -> pi/sqrt(3)，符合前面直觀的推測
文章最後指出，導致 ΔL_z Δθ 的不確定原理和ΔpΔx 不一樣的原因在於
^
L_z = -i h-bar d/dθ 只在 Ψ(-pi) = Ψ(pi) 時為hermitian
^
但此時 L_z 對 θΨ 就不是 hermitian ， 因此照一般ΔpΔx的證明下去推導的話
就會產生錯誤。
這邊我的解讀是
一般generalized uncertainty principle的表示式為
ΔA^2 ΔB^2 >= (1/2i < [A,B] > )^2
代入 [x, p] = i h-bar，就得到ΔpΔx >= h-bar/2
但是在算 < [θ, Lz] > 時 ， 可能會因為上述原因發生一些問題
不過原文說詳細的討論寫在其他reference裡，所以目前我還沒有搞得很清楚
總之，我可以得到二個結論
1. 角度的不確定值具有一個由範圍和周期性所限制的上限為 pi/sqrt(3)
( 即Ψ(θ)為平均分布時的不確定值 )，而不可能達到無限大
2. 角度和角動量的不確定性關係式與位置-動量的關係式不同
因此1.的結果並沒有違反不確定原理
有寫錯的話希望板友們多加指正 謝謝
※ 引述《joe70136 (Iron Man)》之銘言：
: ※ 引述《slime036 (slime036)》之銘言：
: : 今天吃飯和同學討論到角動量能不能為零
: : 我同學的觀點是古典力學中的角動量不能為零 因為這樣就是靜止不動(...他因該是這
: : 樣說啦) 但量子力學中角動量可以為0 他是用L^2=L(L+1) L受主量子數影響可以為0
: : 但是我是用測不準原理去想 角動量為0的話 角度的不準度就會無限大 這樣物理就不合
: : 就這樣討論了滿久 也不知道誰對誰錯
: : 另外一個疑問是零點能量 量力中的零點能量是指主量子數為零那項 還是基態能量
: : 某孫有說過 以波粒二像性來看 所有粒子都有零點能量
: : 快被搞混了....
: 古典力學中，角動量可以為零。 角動量為零僅表示物體"不轉動"，並非靜止不動。
: 量子力學中，角動量也可以為零，只是很怪，因為你"很難想像"一個繞著原子核在轉的
: 電子，其軌道角動量"可以為零"!(L=0)。
: 此外，我不清楚你如何利用Heisenberg's uncertainty principle推得出，當角動量為零
: 時，其角度的不準確度就會無限大。
: 換個說法，當角動量不為零時，角度的不準確度就不會無限大囉!?
: --------------------------------------------------------------
: 就我對Heisenberg's uncertainty principle的認知
: (Delta_Theta)*(Delta_angular momentum) >= some constant
: --(感謝chungweitw 大大 & mantour大大)
: 我看不出來為什麼角動量等於零時，角度的不準確度才會無限大。
: --------------------------------------------------------------
: 另一方面，即使當角動量為零時，其角度的不準確度為無限大，那又怎樣?
: 為什麼你會覺得不符合物理呢? (是因為角度的不準確度為無限大嗎??)
: ----------------------------------------------------------------
: 當一個實驗"很精確地"測得一個粒子(這裡請容許我用"粒子"...)所擁有的動量時，其位置
: 的測量誤差就會趨向無限大，不是嗎?
: ----------------------------------------------------------------
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◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (10/29 21:35)
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (10/29 21:37)
1F：推 joe70136:非常有內容的文章.. 我想問這篇文章不知道有沒有說明 10/29 23:51
2F：→ joe70136:為什麼角度不確定值有個上限？ 也就是說 V（r）是啥 10/29 23:53
3F：→ joe70136:為什麼Δθ = min V(r)？ sorry~手邊沒那篇paper... 10/29 23:55
4F：→ mantour:其實角度0~2pi 自然照定義算不確定值就會有上限了 10/29 23:58
5F：→ mantour:例如隨機變數假如是0~1 ， 標準差最大就是1/2 10/29 23:59
6F：→ mantour:Δθ比較特別的地方在於對於同一個機率分布 10/29 23:59
7F：→ mantour:你定義域可以有不同設法 (例如-pi~pi和0~2pi) 10/30 00:01
8F：→ mantour:算出來的Δθ就會不同 10/30 00:01
9F：→ mantour:V(r) 就是θ範圍設為 r-pi ~ r+pi 算出來的變異數 10/30 00:03
10F：→ mantour:而取最小的值當作真正的變異數 10/30 00:04
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (10/30 00:04)
11F：→ mantour:喔這邊我少打了平方 改一下 10/30 00:04
12F：→ mantour:所以其實Δθ有上限主要還是因為它的範圍是有限的 10/30 00:05
13F：→ mantour:總之Δθ最大的時候就是你根本不知道它在哪裏 10/30 00:06
14F：→ mantour:也就是機率平均分布在0~2pi的狀況 10/30 00:07
15F：→ mantour:這個狀況下的θ的變異數就是pi/sqrt(3) 10/30 00:08
16F：→ mantour:這很容易計算 10/30 00:08
17F：→ mantour:比較困難的是要證明其他分布的變異數都不會比它大 10/30 00:08
18F：→ mantour:但是Δθ有上界是顯而易見的 10/30 00:09
19F：→ mantour:因為 Δθ = <(θ-<θ>)^2> ，而 θ-<θ> <= 2pi 10/30 00:10
20F：→ mantour: Δθ^2 10/30 00:10
21F：→ mantour:所以Δθ至少也要小於2pi 10/30 00:11
22F：推 sunev:推...之前也想過這問題.... 10/30 00:50
23F：→ mantour:這個狀況下的θ的變異數就是pi/sqrt(3) X 10/30 07:04
24F：→ mantour:這個狀況下的θ的變異數就是(pi^2)/3 O 10/30 07:05
25F：推 chungweitw:嗯..我也努力想得到它的結果, 可是一直弄不出來 10/31 07:12
26F：→ mouwat:我一直懷疑你是不是教授= = 11/01 01:39