最近很久没发有意义的文XD chungweitw:参考一下 D. Judge, Phys. Lett. 5, 189 (1963) 帮摘要一下这篇文章 这篇文章主要是在探讨 按照一般课本上看到的证明 一个坐标 x，与其对应的momentum p (相应於算符 d/dx) 具有关系△p * △x >= h-bar/2 然而对於角动量和角度 这个关系式显然并不正确 因为对任意的ψ(θ) 直观上△θ最大时， 应该是当θ平均分布时 而此时的 △θ 为 pi/sqrt(3) ( 这边微积分算一下便知，在下就不现丑了 ) 而不是无限大 这边要注意的是算△θ时，要考虑θ的周期性 例如，如果θ有1/2的机率等於pi，1/2等於-pi 这样算出来的△θ应该是 0 ， 而不是 √[(pi^2+(-pi)^2)/2] = pi 因为实际上 -pi 和 pi应该是同一个角度 所以△θ的定义和平常有点不同 照这篇文章的写法，令 pi V(r) = ∫ Ψ(θ+r)*(θ+r)Ψ(θ+r) dθ -pi 而 Δθ^2 = min V(r) r 而同这样的定义，照一般导x-p uncertainty relation的方式 可以得到(可惜这篇文章没有把证明写出来) ΔL_z Δθ[ 1 - 3 (Δθ)^2 ] >= h-bar/2 从而当ΔL_z -> 0时，Δθ -> pi/sqrt(3)，符合前面直观的推测 文章最後指出，导致 ΔL_z Δθ 的不确定原理和ΔpΔx 不一样的原因在於 ^ L_z = -i h-bar d/dθ 只在 Ψ(-pi) = Ψ(pi) 时为hermitian ^ 但此时 L_z 对 θΨ 就不是 hermitian ， 因此照一般ΔpΔx的证明下去推导的话 就会产生错误。 这边我的解读是 一般generalized uncertainty principle的表示式为 ΔA^2 ΔB^2 >= (1/2i < [A,B] > )^2 代入 [x, p] = i h-bar，就得到ΔpΔx >= h-bar/2 但是在算 < [θ, Lz] > 时 ， 可能会因为上述原因发生一些问题 不过原文说详细的讨论写在其他reference里，所以目前我还没有搞得很清楚 总之，我可以得到二个结论 1. 角度的不确定值具有一个由范围和周期性所限制的上限为 pi/sqrt(3) ( 即Ψ(θ)为平均分布时的不确定值 )，而不可能达到无限大 2. 角度和角动量的不确定性关系式与位置-动量的关系式不同 因此1.的结果并没有违反不确定原理 有写错的话希望板友们多加指正 谢谢 ※ 引述《joe70136 (Iron Man)》之铭言： : ※ 引述《slime036 (slime036)》之铭言： : : 今天吃饭和同学讨论到角动量能不能为零 : : 我同学的观点是古典力学中的角动量不能为零 因为这样就是静止不动(...他因该是这 : : 样说啦) 但量子力学中角动量可以为0 他是用L^2=L(L+1) L受主量子数影响可以为0 : : 但是我是用测不准原理去想 角动量为0的话 角度的不准度就会无限大 这样物理就不合 : : 就这样讨论了满久 也不知道谁对谁错 : : 另外一个疑问是零点能量 量力中的零点能量是指主量子数为零那项 还是基态能量 : : 某孙有说过 以波粒二像性来看 所有粒子都有零点能量 : : 快被搞混了.... : 古典力学中，角动量可以为零。 角动量为零仅表示物体"不转动"，并非静止不动。 : 量子力学中，角动量也可以为零，只是很怪，因为你"很难想像"一个绕着原子核在转的 : 电子，其轨道角动量"可以为零"!(L=0)。 : 此外，我不清楚你如何利用Heisenberg's uncertainty principle推得出，当角动量为零 : 时，其角度的不准确度就会无限大。 : 换个说法，当角动量不为零时，角度的不准确度就不会无限大罗!? : -------------------------------------------------------------- : 就我对Heisenberg's uncertainty principle的认知 : (Delta_Theta)*(Delta_angular momentum) >= some constant : --(感谢chungweitw 大大 & mantour大大) : 我看不出来为什麽角动量等於零时，角度的不准确度才会无限大。 : -------------------------------------------------------------- : 另一方面，即使当角动量为零时，其角度的不准确度为无限大，那又怎样? : 为什麽你会觉得不符合物理呢? (是因为角度的不准确度为无限大吗??) : ---------------------------------------------------------------- : 当一个实验"很精确地"测得一个粒子(这里请容许我用"粒子"...)所拥有的动量时，其位置 : 的测量误差就会趋向无限大，不是吗? : ---------------------------------------------------------------- --

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