以 Dirac bra-ket notation 來表示波函數的話 ψ(x,t) = <x|ψ(t)> --- 薛丁格表像 ψ(x(t)) = <x(t)|ψ> --- 海森堡表象 當波函數(state ket)隨時間改變時，用以描述的是薛丁格方程式 ∂ ^ ih----|ψ(t)> = H |ψ(t)> ∂t ^ 而所有運算子，如 x，均不為時間的函數 其基底右向量(basis ket) |x> 也不為時間的函數 當波函數不隨時間改變時，用以描述的是海森堡運動方程式 d ^ ^ ^ ih----x(t) = [x(t),H] dt ^ 其中 H 不為時間的顯函數 而基底右向量會隨時間而改變，因為 ^ x(t) = ∫dx x(t) |x(t)> <x(t)| 可以證明這兩種表像是等價的 所以 ψ(x(t)) = <x(t)|ψ> = <x|ψ(t)> = ψ(x,t) ^ 前提是 H 不為時間的顯函數 (憑印象…錯了請指正) 所以應該可以理解為 ψ(x(t)) 是在空間座標下的描述 而 ψ(x,t) 是在隨體座標下的描述 波函數在連續平滑路徑上的變化 意味著波函數是在空間中連續平滑地變化著 所以路徑積分應該是用海森堡表像去描述 這樣就可以對應起來了 有錯請指教 ※ 引述《leo80042 (方力偶)》之銘言： : : 就我的認知 (也有可能是錯的) : : 某個時間點的波函數，其座標跟下個時間點的座標無關 : : 所以在某個時間點其座標 x，在下個時間點其座標 y 可以離 x 很遠 : : 就像布朗運動一樣高度無規 . : : 也就是說 x 不是平滑的，即 x(t) 不存在 . : : 但是費因曼的路徑積分卻一開始就用了 L(x,x,t) : : 所以路徑積分是不是只包含了平滑路徑 : : 而不包含折線型那樣的路徑？ : : 如果原本的波動力學、矩陣力學都有包含那些不平滑路徑 : : 那這樣子路徑積分就該多一個假設，即平滑路徑的假設？ : 我覺得這個問題可能是因為觀念混淆？ : 波動力學裡頭的位置x和路徑積分裡頭的位置x應該是不一樣的觀念 : 波動力學的位置x是operator，不是時間的函數 : 要作用在波函數上才有意義 : 波函數ψ(x,t)的x指的是波在空間中的分佈 : x也不是時間的函數 : 因此從這些定義可以讓我們想起一件很重要的事 : 就是在波動力學中討論"路徑"這個概念沒有意義 : 因為你不知道怎麼去描述它 : 而從Ehrenfest's theorem可以知道 : 位置期望值對時間的微分 = 動量期望值 / 質量 : （拿掉"期望值"三個字就是古典結果XD） : . : 某種意義上它才是你說的速度x : 而我沒記錯的話 : 路徑積分裡頭的位置x是真實空間中不同的路徑x(t) : . : 因此當然還是可以求微分x : 取時間分割趨近於零的話 : 每個時間點t上面的微分值也有意義 : 因為你說的折線型路徑就變平滑了XD : : 再來就是小弟的疑惑 : : 費因曼的路徑應該是可以分岔，也可以交錯 : : 像某個時間點做量測使得自由粒子的波函數坍塌到某一座標點 : : 下一個時間點隨 Gaussian 函數擴散開來，也就是路徑分岔成無限多條 : : 所以 x(t) 應該不是單值函數 : : 但是上面的推導好像是說 x(t) 應該是唯一的？ : : 所以才有 dx/dt 存在 : : 這點是目前比較困擾小弟的 : 對每一條路徑，x(t)都是唯一的啊～ : 最後再把所有路徑加起來 : 這樣做沒有錯啊@@? --

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