以 Dirac bra-ket notation 来表示波函数的话 ψ(x,t) = <x|ψ(t)> --- 薛丁格表像 ψ(x(t)) = <x(t)|ψ> --- 海森堡表象 当波函数(state ket)随时间改变时，用以描述的是薛丁格方程式 ∂ ^ ih----|ψ(t)> = H |ψ(t)> ∂t ^ 而所有运算子，如 x，均不为时间的函数 其基底右向量(basis ket) |x> 也不为时间的函数 当波函数不随时间改变时，用以描述的是海森堡运动方程式 d ^ ^ ^ ih----x(t) = [x(t),H] dt ^ 其中 H 不为时间的显函数 而基底右向量会随时间而改变，因为 ^ x(t) = ∫dx x(t) |x(t)> <x(t)| 可以证明这两种表像是等价的 所以 ψ(x(t)) = <x(t)|ψ> = <x|ψ(t)> = ψ(x,t) ^ 前提是 H 不为时间的显函数 (凭印象…错了请指正) 所以应该可以理解为 ψ(x(t)) 是在空间座标下的描述 而 ψ(x,t) 是在随体座标下的描述 波函数在连续平滑路径上的变化 意味着波函数是在空间中连续平滑地变化着 所以路径积分应该是用海森堡表像去描述 这样就可以对应起来了 有错请指教 ※ 引述《leo80042 (方力偶)》之铭言： : : 就我的认知 (也有可能是错的) : : 某个时间点的波函数，其座标跟下个时间点的座标无关 : : 所以在某个时间点其座标 x，在下个时间点其座标 y 可以离 x 很远 : : 就像布朗运动一样高度无规 . : : 也就是说 x 不是平滑的，即 x(t) 不存在 . : : 但是费因曼的路径积分却一开始就用了 L(x,x,t) : : 所以路径积分是不是只包含了平滑路径 : : 而不包含折线型那样的路径？ : : 如果原本的波动力学、矩阵力学都有包含那些不平滑路径 : : 那这样子路径积分就该多一个假设，即平滑路径的假设？ : 我觉得这个问题可能是因为观念混淆？ : 波动力学里头的位置x和路径积分里头的位置x应该是不一样的观念 : 波动力学的位置x是operator，不是时间的函数 : 要作用在波函数上才有意义 : 波函数ψ(x,t)的x指的是波在空间中的分布 : x也不是时间的函数 : 因此从这些定义可以让我们想起一件很重要的事 : 就是在波动力学中讨论"路径"这个概念没有意义 : 因为你不知道怎麽去描述它 : 而从Ehrenfest's theorem可以知道 : 位置期望值对时间的微分 = 动量期望值 / 质量 : （拿掉"期望值"三个字就是古典结果XD） : . : 某种意义上它才是你说的速度x : 而我没记错的话 : 路径积分里头的位置x是真实空间中不同的路径x(t) : . : 因此当然还是可以求微分x : 取时间分割趋近於零的话 : 每个时间点t上面的微分值也有意义 : 因为你说的折线型路径就变平滑了XD : : 再来就是小弟的疑惑 : : 费因曼的路径应该是可以分岔，也可以交错 : : 像某个时间点做量测使得自由粒子的波函数坍塌到某一座标点 : : 下一个时间点随 Gaussian 函数扩散开来，也就是路径分岔成无限多条 : : 所以 x(t) 应该不是单值函数 : : 但是上面的推导好像是说 x(t) 应该是唯一的？ : : 所以才有 dx/dt 存在 : : 这点是目前比较困扰小弟的 : 对每一条路径，x(t)都是唯一的啊～ : 最後再把所有路径加起来 : 这样做没有错啊@@? --

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