※ 引述《ntust661 (Crm~)》之銘言： : curl(F) = 0 : 在任意一點 F 都存在 : 則可以稱F為保守場 這邊漏掉一個條件，除了在區域D中 F 可化為 gradf 外(也就是積分值和路徑無關)， F及其一階偏導數在區域D中的每個點必須為連續函數 此時才能說curlF=0。而區域D指的是由積分路經C所圍成的區域。 反之若 curlF=0，且區域D為單連通，則該積分值和路徑無關。 : 那以下這個勒?! : -y x : F = ──── i + ──── j : x^2+y^2 x^2+y^2 : Curl(F) = 0 ? : 畫出圖形他是明顯的渦漩場 : 他竟然不能表示出任意點的環流密度!? : 我想知道的是，他沒環流密度(旋度)在(0,0)以外嗎? : 他不是保守場卻有保守場的特性 : 怪... 考慮一個線積分如下 → → ∮ F ˙dr 這個積分值等於多少會和你的積分路徑C有關 c c為任意的簡單封閉曲線，可分為兩類討論: <1>積分路徑C不包含(0,0)，則此時C路徑所圍成的區域D中 F恆滿足 curlF=0 for every point in "this" domain D 以及 對此D內的每個點而言，F及其一階偏導數皆連續 的這兩個條件 故curlF=0，所以只和起始點以及終點有關 因此積一圈必 = 0 <2>若一任意的積分路徑包含(0,0)，則此時由C所形成的區域D 對 F來說顯然不是一個保守場!(因為D內並不是所有點都滿足保守場的兩個需求， 他只滿足 F=gradf，但(0,0)這點對F而言並不存在，當然就不連續) 因此積分值並不恆=0 又因為此時的積分路徑是任意的，所以就算你可以把該線積分grouping成 一個簡單的角度形式，你還是不知道答案是多少，如下 -ydx+xdy -1 y ∮ --------- = ∮ d(tan -) ，因為反三角函數是一多值函數，並不符合 c x^2+y^2 c x 微積分的要求。 但是我們可以透過取一個如下的路徑C*，使得C*所圍成的區域是一單連通區域 且藉此 「可將原題目中任意的路徑C變成一個我們想要的路徑(ex:圓)」 「且此時F在這個D*中為保守場」 有這兩個好處。 圖: http://0rz.tw/rlgsW 由圖可知 C* = C + AB + C1 + BA 且∫C* = ∫C+C1 (因為∫AB= -∫BA) 故得到 ∫C =∫C* - ∫C1 (a) 又因為剛剛所取的C*所圍成的區域是一個單連通區域，因為已知curlF=0 故對此不包含(0,0)的單連通區域而言，可以用Green's 定理，或由保守場， 皆可得 -ydx+xdy ∮ -------- = 0 (上述的好處之一) C* x^2+y^2 ｜ 故由(a)可得 ｜ ↓ -ydx+xdy -ydx+xdy ∮ -------- = 0 - ∮ -------- C x^2+y^2 C1 x^2+y^2 -1 y = ∮ d(tan -) -C1 x (-C1為逆時針) 這個時候因為路徑 -C1 已經明確了(一個圓形) 所以可以用極座標令 x=rcosθ，y=rsinθ (上述的好處之二) -1 y 且 r=(x^2+y^2)^(1/2)，θ=tan - 且 θ:0~2π，此時的θ是單值函數 x 2π 因此所求 = ∮ dθ = ∫ dθ = 2π。 -C1 0 -- 簡單來說，保守場要連同路徑下去考慮，因為所謂的保守場就是 和路徑無關，因此所選取的簡單封閉曲線在哪是很重要的。也就是 如果簡單封閉曲線 不含 (0,0)則它具有保守場的特性，積一圈會=0 如果簡單封閉曲線 含 (0,0)則它不具有保守場的特性，積一圈不一定=0 (就算C沒有通過奇異點也是一樣) 你沒有考慮曲線C在哪，才會有他一下子是保守場一下子不是保守場的感覺。 -- 圖換過了 D*所在位置如圖所示 --

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