※ 引述《ntust661 (Crm~)》之铭言： : curl(F) = 0 : 在任意一点 F 都存在 : 则可以称F为保守场 这边漏掉一个条件，除了在区域D中 F 可化为 gradf 外(也就是积分值和路径无关)， F及其一阶偏导数在区域D中的每个点必须为连续函数 此时才能说curlF=0。而区域D指的是由积分路经C所围成的区域。 反之若 curlF=0，且区域D为单连通，则该积分值和路径无关。 : 那以下这个勒?! : -y x : F = ──── i + ──── j : x^2+y^2 x^2+y^2 : Curl(F) = 0 ? : 画出图形他是明显的涡漩场 : 他竟然不能表示出任意点的环流密度!? : 我想知道的是，他没环流密度(旋度)在(0,0)以外吗? : 他不是保守场却有保守场的特性 : 怪... 考虑一个线积分如下 → → ∮ F ˙dr 这个积分值等於多少会和你的积分路径C有关 c c为任意的简单封闭曲线，可分为两类讨论: <1>积分路径C不包含(0,0)，则此时C路径所围成的区域D中 F恒满足 curlF=0 for every point in "this" domain D 以及 对此D内的每个点而言，F及其一阶偏导数皆连续 的这两个条件 故curlF=0，所以只和起始点以及终点有关 因此积一圈必 = 0 <2>若一任意的积分路径包含(0,0)，则此时由C所形成的区域D 对 F来说显然不是一个保守场!(因为D内并不是所有点都满足保守场的两个需求， 他只满足 F=gradf，但(0,0)这点对F而言并不存在，当然就不连续) 因此积分值并不恒=0 又因为此时的积分路径是任意的，所以就算你可以把该线积分grouping成 一个简单的角度形式，你还是不知道答案是多少，如下 -ydx+xdy -1 y ∮ --------- = ∮ d(tan -) ，因为反三角函数是一多值函数，并不符合 c x^2+y^2 c x 微积分的要求。 但是我们可以透过取一个如下的路径C*，使得C*所围成的区域是一单连通区域 且藉此 「可将原题目中任意的路径C变成一个我们想要的路径(ex:圆)」 「且此时F在这个D*中为保守场」 有这两个好处。 图: http://0rz.tw/rlgsW 由图可知 C* = C + AB + C1 + BA 且∫C* = ∫C+C1 (因为∫AB= -∫BA) 故得到 ∫C =∫C* - ∫C1 (a) 又因为刚刚所取的C*所围成的区域是一个单连通区域，因为已知curlF=0 故对此不包含(0,0)的单连通区域而言，可以用Green's 定理，或由保守场， 皆可得 -ydx+xdy ∮ -------- = 0 (上述的好处之一) C* x^2+y^2 ｜ 故由(a)可得 ｜ ↓ -ydx+xdy -ydx+xdy ∮ -------- = 0 - ∮ -------- C x^2+y^2 C1 x^2+y^2 -1 y = ∮ d(tan -) -C1 x (-C1为逆时针) 这个时候因为路径 -C1 已经明确了(一个圆形) 所以可以用极座标令 x=rcosθ，y=rsinθ (上述的好处之二) -1 y 且 r=(x^2+y^2)^(1/2)，θ=tan - 且 θ:0~2π，此时的θ是单值函数 x 2π 因此所求 = ∮ dθ = ∫ dθ = 2π。 -C1 0 -- 简单来说，保守场要连同路径下去考虑，因为所谓的保守场就是 和路径无关，因此所选取的简单封闭曲线在哪是很重要的。也就是 如果简单封闭曲线 不含 (0,0)则它具有保守场的特性，积一圈会=0 如果简单封闭曲线 含 (0,0)则它不具有保守场的特性，积一圈不一定=0 (就算C没有通过奇异点也是一样) 你没有考虑曲线C在哪，才会有他一下子是保守场一下子不是保守场的感觉。 -- 图换过了 D*所在位置如图所示 --

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