※ 引述《[email protected] (鄉長大明神)》之銘言： : 想問當 : [A.BC]=B[A,C]+[A,B]C : [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B : 成立時，要滿足什麼條件嗎 : 其實我有上維基查，但我看不太懂，可以幫忙解釋一下嗎，貼上來 : 交換子 : 在抽象代數中，一個群的交換子（commutator）或換位子是一個二元運算元。設 g 及 h : 是 群G 中的元素，他們的交換子是g^-1 h^-1 gh，常記為 [ g, h ]。只有當g和h符合交 : 換律（即 gh = hg ）時他們的交換子才是這個群的單位元。 : 一個群G的全部交換子生成的子群叫做群G的導群，記作D(G)。 : 對等元 : 交換子有以下特性: : [A,BC] = B[A,C] + [A,B]C : [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B : http://0rz.com/20P3 說實話...翻譯成對易真的不知道是甚麼人翻出來的... 英文叫作commutativity，意思就是可交換性。 ab=ba =>乘法的可交換性 交換子就是定一種方式去量測兩個"東西"的可交換性... 這個可交換性就由該集合的運算去決定... 在群裡面唯一的結構就是乘法... ab=ba 等同於aba^-1b^-1 =e, e表群的單位元... 所以才會定[a,b]=aba^-1b^-1 因此在群裡面,元素a,b是可交換的，那麼[a,b]=1 在線性算子裡，兩個線性算子可交換如果ab-ba=0。 因此我們定義[a,b]=ab-ba 當[a,b]=0時，a與b是可換的。 在群裡面，有個概念叫做同態f:G->H是一個群同態， 意思是f(ab)=f(a)f(b)，意思是群G中的元素透過f 的作用後其群的乘法結構被某種程度的保持。 如果H是可交換的，那麼f(ab)=f(a)f(b)=f(b)f(a)=f(ba) 由此可發現f(aba^-1b^-1)=e 所以aba^-1b^-1就包含在f的核(kernel)中。 但我們知道群同態的核是一個群。這個群包含了所以[a,b]這樣的元素。 於是有人就會思考，那麼包含所有[a,b]最小的群長怎樣? 於是就可以開始定義所謂的commutator subgroup... 如果核是平凡的，那麼也代表著群G是交換群。 而群表現就是想把抽象的結構變成用矩陣來看 畢竟我們會算矩陣... 當然群表現跟群作用有很大的關聯性，這個關連在於研究一些現像的對秤性。 或是某些方程的不變量，如拉普拉斯方程是種球對稱的方程。 當然，交換群是相當簡單的。非交換群就變得粉複雜。 交換代數相對來說也比非交換代數難得多... 好吧~不閒扯太多... 大概就是這樣... --

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