※ 引述《chungweitw (.)》之銘言： : 這算是數學問題. 但是卻經常用在物理, 尤其在高能物理. : 算是為了解決 divergent perturbation series 的一個方法. : 所以我也順便在物理版問問. : http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node7.html : 不懂: : 1. not a uniformly convergent series 未必可以交換 : 積分和sum 的順序. 他這邊說, 我們定義一個 Borel : sum..把積分和sum的順序交換. 好吧. 我就姑且接受 : 2. 最後一步.. : sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) ? : 這又是怎一回事? 先把 |xt| 當成小於 1, 得到級數 : 然後說此 integral 在所有 x<0 皆成立. : ( 自己就不管之前 |xt|<1 的條件了? ) 這個x<0 是相對於積分來說的 不是級數的條件 Integrand的pole在1/x, 所以x<0時積分路徑不會經過pole 至於sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) 應該是來自於把右式的xt從R解析延拓到C 此時只要xt != 1 即可 可以是C中的任意數 然後 再很胡搞的宣稱左式亦同 Orz 而且不管左式長怎麼樣 只要右式帶進去算得出答案的都會等於左式 : 邏輯是如以下這樣的嗎? : 一切都發散 => 得到一個 |xt|<1 則會收斂的級數 : => 得到一個對於 x<0 會收斂的積分 : => 這就是我要的結果. 發散的 perturbation 已經不是我要的了. : ( |xt|<1 這也不重要! 反正我要的結果和 t 無關 ) : 誰能說服我這不是在胡搞? : 謝謝 我認為像這個算式重點不是結果最後會發散 而是當我們把發散的部份集中起來後 剩下收斂的部份長怎麼樣 這些收斂的部份的行為才是重點 舉例像是sum_{n=0}^{\infty} x^n 這個例子 在|x|<1才會收斂 如果用Borel的作法 最後會得到 e^(-(1-x) t ) / (1-x) |t=\infty t=0 很明顯的分子部份會發散 但是整體的值不是重點 剩下來的部份 分母的行為才是我們要觀察的 至於你說不是uniformly conv.的函數積分和sum不可交換....這個嗎... 物理當中 不連續函數都視為可微分 微分後跑出delta function delta function都視為連續可積函數 積分路徑碰到pole也沒關係 取principal value就好 你覺得還有什麼不可能的嗎? XD -- 宇宙中只有一個太陽系， 冥王星是太陽系九大行星中不可分割的一部分。 如果IAU執意要干預本星系內政， 將不排除以武力侵犯冥王星之可能性。 節錄自【吃飽太閒之反星系分裂法】第二條 --

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