※ 引述《chungweitw (.)》之铭言： : 这算是数学问题. 但是却经常用在物理, 尤其在高能物理. : 算是为了解决 divergent perturbation series 的一个方法. : 所以我也顺便在物理版问问. : http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node7.html : 不懂: : 1. not a uniformly convergent series 未必可以交换 : 积分和sum 的顺序. 他这边说, 我们定义一个 Borel : sum..把积分和sum的顺序交换. 好吧. 我就姑且接受 : 2. 最後一步.. : sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) ? : 这又是怎一回事? 先把 |xt| 当成小於 1, 得到级数 : 然後说此 integral 在所有 x<0 皆成立. : ( 自己就不管之前 |xt|<1 的条件了? ) 这个x<0 是相对於积分来说的 不是级数的条件 Integrand的pole在1/x, 所以x<0时积分路径不会经过pole 至於sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) 应该是来自於把右式的xt从R解析延拓到C 此时只要xt != 1 即可 可以是C中的任意数 然後 再很胡搞的宣称左式亦同 Orz 而且不管左式长怎麽样 只要右式带进去算得出答案的都会等於左式 : 逻辑是如以下这样的吗? : 一切都发散 => 得到一个 |xt|<1 则会收敛的级数 : => 得到一个对於 x<0 会收敛的积分 : => 这就是我要的结果. 发散的 perturbation 已经不是我要的了. : ( |xt|<1 这也不重要! 反正我要的结果和 t 无关 ) : 谁能说服我这不是在胡搞? : 谢谢 我认为像这个算式重点不是结果最後会发散 而是当我们把发散的部份集中起来後 剩下收敛的部份长怎麽样 这些收敛的部份的行为才是重点 举例像是sum_{n=0}^{\infty} x^n 这个例子 在|x|<1才会收敛 如果用Borel的作法 最後会得到 e^(-(1-x) t ) / (1-x) |t=\infty t=0 很明显的分子部份会发散 但是整体的值不是重点 剩下来的部份 分母的行为才是我们要观察的 至於你说不是uniformly conv.的函数积分和sum不可交换....这个吗... 物理当中 不连续函数都视为可微分 微分後跑出delta function delta function都视为连续可积函数 积分路径碰到pole也没关系 取principal value就好 你觉得还有什麽不可能的吗? XD -- 宇宙中只有一个太阳系， 冥王星是太阳系九大行星中不可分割的一部分。 如果IAU执意要干预本星系内政， 将不排除以武力侵犯冥王星之可能性。 节录自【吃饱太闲之反星系分裂法】第二条 --

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