作者chungweitw (.)
看板Physics
標題[請益] Borel summation
時間Mon Apr 27 11:01:42 2009
這算是數學問題. 但是卻經常用在物理, 尤其在高能物理.
算是為了解決 divergent perturbation series 的一個方法.
所以我也順便在物理版問問.
http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node7.html
不懂:
1. not a uniformly convergent series 未必可以交換
積分和sum 的順序. 他這邊說, 我們定義一個 Borel
sum..把積分和sum的順序交換. 好吧. 我就姑且接受
2. 最後一步..
sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) ?
這又是怎一回事? 先把 |xt| 當成小於 1, 得到級數
然後說此 integral 在所有 x<0 皆成立.
( 自己就不管之前 |xt|<1 的條件了? )
邏輯是如以下這樣的嗎?
一切都發散 => 得到一個 |xt|<1 則會收斂的級數
=> 得到一個對於 x<0 會收斂的積分
=> 這就是我要的結果. 發散的 perturbation 已經不是我要的了.
( |xt|<1 這也不重要! 反正我要的結果和 t 無關 )
誰能說服我這不是在胡搞?
謝謝
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 24.250.217.247
※ 編輯: chungweitw 來自: 24.250.217.247 (04/27 11:08)
1F：推 monmath:物理用數學就是一直在胡搞XD 04/27 12:58
2F：推 herstein:有種東西叫Asymptotic expansion.... 04/27 22:57
3F：→ chungweitw:我不覺得這和 asymptotic expansion 一樣. 04/28 07:27
4F：推 herstein:那要看你對asymptotic expansion的定義與我的了解一不一 04/28 09:18
5F：→ herstein:asymptotic expansion在數學上不是定義一種漸進方式... 04/28 09:18
6F：→ herstein:而是處理一種某一種無限大的級數和... 04/28 09:19
8F：→ herstein:其實在數學上還有一種叫做p-adic expansion的... 04/28 09:23
9F：→ herstein:收斂概念不一定是仰賴於歐式的距離... 04/28 09:23
10F：→ herstein:也有一種叫做non-archemedian?(可能會拼錯)norm... 04/28 09:24
11F：→ herstein:當然或許有很多種"asymptotic expansion"... 04/28 09:25
12F：→ herstein:仰賴於你怎麼去定義他... 04/28 09:25
13F：推 herstein:但積分與級數和交換也不一定要uniformly convergent... 04/28 09:28
14F：→ herstein:某足一些條件也行... 04/28 09:28
15F：→ chungweitw:雖然不一定要是 Euclidean metric, 但是一般 QM, QFT 04/28 12:16
16F：→ chungweitw:的 metric ( space part ) 應該都是 Euclidean. 04/28 12:17
17F：→ chungweitw:我對 asymptotic expansion 的定義是和 wolfram 網頁 04/28 12:18
18F：→ chungweitw:一樣的..你這篇文章似乎滿不錯的. 找機會讀讀. 感謝 04/28 12:18
19F：→ chungweitw:對個..關於第二點. 04/28 12:25
20F：→ chungweitw:剛剛我算了一下. 只要 x<0, 那個級數就是 Borel 04/28 12:26
21F：→ chungweitw:summable. 所以依據 Borel summation 的定義, 這一步 04/28 12:27
22F：→ chungweitw:我可以理解了. 只是依然不是很能了解這過程背後的原理. 04/28 12:27
23F：→ chungweitw:感覺有點像是一種 regularization 的方法. 04/28 12:28