作者chungweitw (.)
看板Physics
标题[请益] Borel summation
时间Mon Apr 27 11:01:42 2009
这算是数学问题. 但是却经常用在物理, 尤其在高能物理.
算是为了解决 divergent perturbation series 的一个方法.
所以我也顺便在物理版问问.
http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node7.html
不懂:
1. not a uniformly convergent series 未必可以交换
积分和sum 的顺序. 他这边说, 我们定义一个 Borel
sum..把积分和sum的顺序交换. 好吧. 我就姑且接受
2. 最後一步..
sum_{n=0}^{\infty} (xt)^2 = 1/(1-xt) ?
这又是怎一回事? 先把 |xt| 当成小於 1, 得到级数
然後说此 integral 在所有 x<0 皆成立.
( 自己就不管之前 |xt|<1 的条件了? )
逻辑是如以下这样的吗?
一切都发散 => 得到一个 |xt|<1 则会收敛的级数
=> 得到一个对於 x<0 会收敛的积分
=> 这就是我要的结果. 发散的 perturbation 已经不是我要的了.
( |xt|<1 这也不重要! 反正我要的结果和 t 无关 )
谁能说服我这不是在胡搞?
谢谢
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◆ From: 24.250.217.247
※ 编辑: chungweitw 来自: 24.250.217.247 (04/27 11:08)
1F：推 monmath:物理用数学就是一直在胡搞XD 04/27 12:58
2F：推 herstein:有种东西叫Asymptotic expansion.... 04/27 22:57
3F：→ chungweitw:我不觉得这和 asymptotic expansion 一样. 04/28 07:27
4F：推 herstein:那要看你对asymptotic expansion的定义与我的了解一不一 04/28 09:18
5F：→ herstein:asymptotic expansion在数学上不是定义一种渐进方式... 04/28 09:18
6F：→ herstein:而是处理一种某一种无限大的级数和... 04/28 09:19
8F：→ herstein:其实在数学上还有一种叫做p-adic expansion的... 04/28 09:23
9F：→ herstein:收敛概念不一定是仰赖於欧式的距离... 04/28 09:23
10F：→ herstein:也有一种叫做non-archemedian?(可能会拼错)norm... 04/28 09:24
11F：→ herstein:当然或许有很多种"asymptotic expansion"... 04/28 09:25
12F：→ herstein:仰赖於你怎麽去定义他... 04/28 09:25
13F：推 herstein:但积分与级数和交换也不一定要uniformly convergent... 04/28 09:28
14F：→ herstein:某足一些条件也行... 04/28 09:28
15F：→ chungweitw:虽然不一定要是 Euclidean metric, 但是一般 QM, QFT 04/28 12:16
16F：→ chungweitw:的 metric ( space part ) 应该都是 Euclidean. 04/28 12:17
17F：→ chungweitw:我对 asymptotic expansion 的定义是和 wolfram 网页 04/28 12:18
18F：→ chungweitw:一样的..你这篇文章似乎满不错的. 找机会读读. 感谢 04/28 12:18
19F：→ chungweitw:对个..关於第二点. 04/28 12:25
20F：→ chungweitw:刚刚我算了一下. 只要 x<0, 那个级数就是 Borel 04/28 12:26
21F：→ chungweitw:summable. 所以依据 Borel summation 的定义, 这一步 04/28 12:27
22F：→ chungweitw:我可以理解了. 只是依然不是很能了解这过程背後的原理. 04/28 12:27
23F：→ chungweitw:感觉有点像是一种 regularization 的方法. 04/28 12:28