※ 引述《salvationist ( salvationist)》之銘言： : 不好意思 : 之前好像有問過類似的問題 : 就是 : 如何從"物理或幾何的觀點而非純數學推演"來解釋說明 : 何以梯度場不具旋轉性 : 以及旋轉場不具發散性 : 我只需要知道有甚麼簡單的例子 : 可以拿來定性的回答這兩個問題 : 或者有甚麼數學物理的書有談到 : 旋轉場不具發散性的物理我已經知道了 : 但梯度場不具旋轉性這個事實 : 一時之間我還是想不出來有甚麼好一點的解釋 首先你知道梯度是"一個scalar field在空間中某點變化最劇烈的方向" 例如...你畫出一座山的等高線是一圈一圈的 (假設這座山的形狀長的就像圓錐好了) 那麼,從山頂到山腳劃一條直線,這上面每一點上的單位向量就告訴你高度變化 "最劇烈的方向"是沿著山頂往下或是沿著山腳往上的這兩個方向對吧? 當你實際在爬這座山的時候,沿著你剛剛畫的等高線走的話是不會有高度變化的 然而沿著你剛剛畫的那個通過山腳到山頂的直線走的時候則會有最"累"的感覺 即,走一樣的"路程",要抵抗重力做功的路徑長度多少則是不同的 梯度就是在告訴你,往上走這條路會最累;或是滾下去最快可以到地面的方向XD 然而毫無疑問的 這兩個方向都跟等高線垂直,recall你剛剛的等高線, 別忘了他是一個個圓圈,是算得出旋度的,每一點的旋度向量剛好就是這 每一點的切線方向,那這樣梯度跟旋度方向垂直的特性就再明顯不過了... then,你當然可以推廣到任意形狀的等高線,上面每點的切線仍然跟該點的旋度方向相同 而與梯度方向向量垂直,這就說明了scalar field的梯度為何不旋轉了... 因為這每一個點上的梯度方向向量就很自然的跟切線方向垂直,所以當然是不旋轉的! : 最後感謝各位的不吝提點 --

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