※ 引述《alenbe (生活)》之銘言： : 標題: [請益] 為何"細長煙囪"倒塌時會攔腰折斷？ 大致地解釋，煙囪因受重力影響而倒下 在倒下的過程，重力對煙囪施以力矩，使得煙囪因力矩影響而存在角加速度 在煙囪尚未折斷之前 在瞬間煙囪的每個部位的角加速度應相等 (剛體的基本性質) 所以，距離煙囪根部愈遠處，其垂直於煙囪之加速度分量愈大 (水平於煙囪之加速度分量為煙囪進行圓周運動之向心加速度) 為了提供其垂直於煙囪之加速度分量，煙囪的重力提供其來源 可是，煙囪每個部位單位質量所受的重力均相同 (即重力加速度) 但煙囪上半部的加速度卻要比下半部來得大 所以，除了自身的重力之外 煙囪上半部還受到一部分下半部往下牽引的力，才有那麼快的加速度 而下半部則受到一部分上半部往上牽引的力絆位，加速度才比較慢 所以，在過程中，煙囪存在一處一直受到極大的剪力 當傾斜到一個程度後，該處的應力值超過煙囪可承受的範圍 就被硬生生折斷了 ******************** 假設均勻煙囪長度為 L，質量為 M (單位長度質量ρ=M/L) 考處煙囪傾倒與地面夾角為 θ 時的狀況 距離根部 X 處，煙囪所受的內應力為 f(X) (方向為煙囪上方部位對下向部位的施力) 將 f(X) 拆為兩個分量： 重直於煙囪方向為 h(X) (= f(X) cosθ，剪力) 平行於煙囪方向為 k(X) (= f(X) sinθ，正值為壓縮力，負值為伸張力) 此時，煙囪因重力作用，所受之力矩為 1/2 MgL cosθ 以根部為參考點，煙囪的慣量為 1/3 M L^2 換句話說，當煙囪與地面夾角為 θ 時，其角加速度為 α = 3/2 g/L cosθ ↗╲ ╱ ╲ ╱ ◢◣ ╱ ◢ ◣ ╱ ◢ ◣ ╱ ╲◢ ◣ L ΔX◤◥ f(X+ΔX) ◤ ╱ ↗╲◤ ◥↙ ◤ ╱ ╱ ◢◣ρgΔX◥ ◤ ╱ ╱ ◢ ↗◣ ↓ ◥◤ ╱ X ◢ -f(X) ◣↙ ◢ ╱ ╱ ◢ ωX^2ρΔX◣◢↘αXρΔX ↙ ╱ ◢ ◤ ╲↙ ◢ ◤ ╲◢ ◤ ◥ ◤ ◥ ◤ ◥ ◤ ◥◤θ ▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔ 考慮距離根部 X ~ X+ΔX 紅色區塊的受力情形： 重力 ρgΔX 上方煙囪所施予的應力 f(X+ΔX) 下方煙囪所施予的應力 -f(X) 此三力之合力使得紅色區塊產生加速度，拆成兩個分量 垂直於煙囪方向的分量為 αX = 3/2 g X/L cosθ 水平於煙囪的分量為 ωX^2，即向心加速度 考慮垂直於煙囪方向的分量，可得 h(X+ΔX) - h(X) + ρgΔX cosθ = 3/2 g X/L ρΔX cosθ h'(X) ΔX = (3/2 X/L - 1) ρgΔX cosθ h'(X) = (3/2 X/L - 1) ρg cosθ h(X) = (3/4 X^2/L - X + L/4) ρg cosθ (取 h(L) = 0) 所以 h(X) 的最大值發生於 X = 2/3 L 處 即，整根煙囪所受的剪力於 X = 2/3 L 處最大 --

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