※ 引述《alenbe (生活)》之铭言： : 标题: [请益] 为何"细长烟囱"倒塌时会拦腰折断？ 大致地解释，烟囱因受重力影响而倒下 在倒下的过程，重力对烟囱施以力矩，使得烟囱因力矩影响而存在角加速度 在烟囱尚未折断之前 在瞬间烟囱的每个部位的角加速度应相等 (刚体的基本性质) 所以，距离烟囱根部愈远处，其垂直於烟囱之加速度分量愈大 (水平於烟囱之加速度分量为烟囱进行圆周运动之向心加速度) 为了提供其垂直於烟囱之加速度分量，烟囱的重力提供其来源 可是，烟囱每个部位单位质量所受的重力均相同 (即重力加速度) 但烟囱上半部的加速度却要比下半部来得大 所以，除了自身的重力之外 烟囱上半部还受到一部分下半部往下牵引的力，才有那麽快的加速度 而下半部则受到一部分上半部往上牵引的力绊位，加速度才比较慢 所以，在过程中，烟囱存在一处一直受到极大的剪力 当倾斜到一个程度後，该处的应力值超过烟囱可承受的范围 就被硬生生折断了 ******************** 假设均匀烟囱长度为 L，质量为 M (单位长度质量ρ=M/L) 考处烟囱倾倒与地面夹角为 θ 时的状况 距离根部 X 处，烟囱所受的内应力为 f(X) (方向为烟囱上方部位对下向部位的施力) 将 f(X) 拆为两个分量： 重直於烟囱方向为 h(X) (= f(X) cosθ，剪力) 平行於烟囱方向为 k(X) (= f(X) sinθ，正值为压缩力，负值为伸张力) 此时，烟囱因重力作用，所受之力矩为 1/2 MgL cosθ 以根部为参考点，烟囱的惯量为 1/3 M L^2 换句话说，当烟囱与地面夹角为 θ 时，其角加速度为 α = 3/2 g/L cosθ ↗╲ ╱ ╲ ╱ ◢◣ ╱ ◢ ◣ ╱ ◢ ◣ ╱ ╲◢ ◣ L ΔX◤◥ f(X+ΔX) ◤ ╱ ↗╲◤ ◥↙ ◤ ╱ ╱ ◢◣ρgΔX◥ ◤ ╱ ╱ ◢ ↗◣ ↓ ◥◤ ╱ X ◢ -f(X) ◣↙ ◢ ╱ ╱ ◢ ωX^2ρΔX◣◢↘αXρΔX ↙ ╱ ◢ ◤ ╲↙ ◢ ◤ ╲◢ ◤ ◥ ◤ ◥ ◤ ◥ ◤ ◥◤θ ▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔ 考虑距离根部 X ~ X+ΔX 红色区块的受力情形： 重力 ρgΔX 上方烟囱所施予的应力 f(X+ΔX) 下方烟囱所施予的应力 -f(X) 此三力之合力使得红色区块产生加速度，拆成两个分量 垂直於烟囱方向的分量为 αX = 3/2 g X/L cosθ 水平於烟囱的分量为 ωX^2，即向心加速度 考虑垂直於烟囱方向的分量，可得 h(X+ΔX) - h(X) + ρgΔX cosθ = 3/2 g X/L ρΔX cosθ h'(X) ΔX = (3/2 X/L - 1) ρgΔX cosθ h'(X) = (3/2 X/L - 1) ρg cosθ h(X) = (3/4 X^2/L - X + L/4) ρg cosθ (取 h(L) = 0) 所以 h(X) 的最大值发生於 X = 2/3 L 处 即，整根烟囱所受的剪力於 X = 2/3 L 处最大 --

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