作者brains (不認識)
看板Physics
標題Re: [請益] 輪胎上階梯的問題
時間Fri Sep 26 08:52:43 2008
※ 引述《a80481ivan (阿傻)》之銘言：
: ※ 引述《brains (不認識)》之銘言：
: : 我覺得這題應該出錯了...想請教大家的意見.
: : ============================================
: : 一輪胎(半徑a)上一階梯(高度h), a >> h.
: : 輪胎以一初始速度 v1 往樓梯滾過去, 若不考慮滑動,
: : 請問"最小"的初始速度要多少才能成功的滾上去呢?
: : (提示: 考慮撞擊前後角動量守衡.) O____________
: : |
: : __________| h
: : ============================================
: : 這題看似很單純, 我是這樣解的:
: : 首先, 對於O點的角動量守衡:
: : 撞擊前角動量是 (a-h)*M*v1
: : 撞擊後角動量是 a*M*v2 (這指的是整個輪胎已上了階梯之後, v2是這時的速度)
: : 兩式相等, 所以 v2 = (1-h/a)*v1 ----------(A)
: : 其次, 能量守衡: v2^2 = v1^2 - 2*g*h ------(B)
: : 用(A), (B)兩式消掉v2, 得到 v1 = a*g/(1-h/2a).
: : 也就是說, 要同時滿足角動量守衡和能量守衡的話, v1是固定的答案!!!
: : 那題目怎麼會說要求"最小"的v1呢?
首先感謝您的回覆, 我按照你的說法詳解如下:
: 角動量守恆 和 能量守恆沒錯
: 只不過是對O點角動量守恆 而且是剛碰到O點的時候
: 也就是說輪胎還沒離開地面 可是接觸到O點 O點正向力和摩擦力對O都無力矩
: 之後滾上去才能量守恆
: 下面簡單列式一下
: 一開始角動量Lo＝L對cm＋Lcm對O點＝Icmω＋Mv1(a-h) (ω=v1/a)
= Mωa^2 + (a-h)M(aω)
整理得= Mωa(2a-h)-----------------------(A式)
(這裡Icm = Ma^2)
: 後來的角動量Lo＝Ioω'
^^^^ 這裡的轉動慣量因為轉軸不同所以變了! 變成 2Ma^2.
= 2Mω'a^2------------------------------------------(B式)
: 能量守恆 假設上去
: 1/2Ioω'^2+Mg(a-h)=1/2Io(θ')+Mgasinθ (θ')為θ對時間微分一次即角速度
若要求ω的最小值, 條件是θ'= 0 (滾上去後剛好靜止不動!)
: 要讓他滾上去 則 θ=90度 且 θ'>=0
所以上式整理得 Ioω'^2 = 2Mgh---------------------------------------(C式)
(這裡的Io = 2Ma^2)
由(A式) = (B式)得到
2a (C式) 2a (gh)^(0.5) 1
ω = ------ω' ====== ------ ---------- = (gh)^(0.5)--------
2a - h 2a - h a a - h/2
這就是答案???
: 其中有很多轉動慣量 看題目給什麼在帶入吧
: 大致上的觀念是這樣
: 不知道有沒有什麼錯誤的地方
: 歡迎討論
--
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◆ From: 65.189.25.97
1F：→ brains:怪怪的...h=a得到矛盾的結果...因該滾不上去吧? 09/26 08:57
2F：推 a80481ivan:嗯？你算的沒錯壓 得到什麼矛盾的結果？ h＝a是上不去 09/27 00:57
3F：推 a80481ivan:h＝a 不就是半徑等於階梯高？當然過不去 09/27 01:01
4F：→ brains:我指的矛盾就是:明明過不去, 那ω=2(g/a)^0.5 是什麼意思? 09/27 03:04
5F：→ brains:2a>h>a範圍內ω都是有限值,這違反常理吧?應該要反彈不是? 09/27 03:06
6F：推 a80481ivan:嗯嗯 所以要多個假設 h<a 09/27 18:01
7F：→ a80481ivan:其實題目本來就應該有這個假設在 我們算的都是撞到不 09/27 18:03
8F：→ a80481ivan:反彈 必須要有個範圍才可能讓球滾上去 09/27 18:03
9F：→ a80481ivan:而且這種運動本來就不合運動常理 撞到不反彈直接黏住？ 09/27 18:04
10F：→ a80481ivan:本來也就只是假設... 09/27 18:04
11F：→ brains:所以"實際上"這個問題應該要怎樣解呢?才能貼近現實生活? 09/27 20:59
12F：推 a80481ivan:實際上的物理 很複雜的 你拿一顆籃球 滾上階梯會發生 09/27 22:13
13F：→ a80481ivan:什麼事?所以我們只能用比較簡單的假設 來處理問題 09/27 22:14
14F：→ brains:看似簡單的問題居然有大學問...XD 09/28 03:00