※ 引述《khanti (Good Luck !!!)》之銘言： : 近物中最常用到的數學是那幾個部分? : (例如:矩陣或是向量...) : 以上 感謝 假設以 Tipler 的近物章節來看，然後以我自己理解的方式來解說 第一章 特殊相對論的時間延遲跟長度收縮及都普勒效應 第二章 特殊相對論的動量與能量、廣義相對論(大略講) 首先要學會 "勞倫茲轉換" 然後推廣到 "閔可夫斯基空間" 的 "四向量" (即4x4複數矩陣) 再來用 "四向量" "羅倫茲轉換" 導 "長度收縮" 跟 "逆羅倫茲轉換" 導 "時間膨脹" 接著用 "微分的連鎖律" 推導 "相對速度" 可以推出 "相對質量" "微分的連鎖律" 推導 "相對加速度" 可以得出 "相對動量" 根據 "力" 的定義就是動量對時間的 "微分"，再用 "積分" 求 "力所做的功(即動能)" 再跟 "相對質量" 做比較，可以發現正好是 "相對能量" 減 "靜止能量" 等於 "動能" 之後再透過之前所推導的速度轉換式可以得出 "四動量" (也是4x4複數矩陣) 根據 "四動量" 與 "平面波的理解" 可以輕鬆得出 "相對都普勒效應" "四動量" 就可以得出 "配對共生及配對湮滅" 狹義相對論的數學雖然簡單(simple)但是很繁雜(not easy)， 有時還要善用泰勒展開來求古典近似 另外 "廣義相對論" 只是大略的講，數學的方面最好要先會 "微分幾何"，這已經遠遠超 過範圍了XD 第三章 電荷的量子化、黑體輻射、波的粒子性(光電效應、康普吞效應) 黑體輻射： Planck所修正的平均能量：簡諧振子的平均能量要用波茲曼分佈的 "等比級數 的和" 及一些 "微分的技巧" 來求得 Wien's Law：用 "求極值的方法" 求能量密度最大時的波長或頻率 Stefan-Boltzman Law：將Planck修正後的Rayleigh-Jean的能量密度公式 把所有波長或頻率全部積分起來， 積分的方法是先 "展開成無窮級數"，"積分與求和對調"， 在各別求和與積分， 積分的部份產生 "Gamma function"， 求和的部份產生 "Zeta function"，這兩項最後相乘 可參考我在物理版的這篇文章：8024 312/14 Frobenius R: [問題] 請問一題積分 光電效應：這數學應該不是問題吧XD 重點在意義 康普吞效應： 頂多用動量能量守恆做一些代數運算最後整理得出公式，也可以用 "四動量" 推 第四章 原子核的發現(拉賽福原子核模型)、氫原子的波爾模型、法蘭克赫茲實驗 拉賽福原子核模型：還是用微積分推導 氫原子的波爾模型：因為是圓形軌道模型所以基本上都是高中學過的東西再複習 真正大學要會的是透過 Wilson-Sommerfeld 的量子化條件來求氫原子的橢圓軌道模型， 在這之前可以去複習一下力學有關中心力場的部分，至於∮ p dr 的積分對於還沒學過 r 複變的留數積分的人是很難積得出來的，學過的也不一定會算，因為過程太過複雜 看起來好像在做向量微積分，其實只是積 0～2π http://tinyurl.com/3xjmo26 (請先開這網址再開下列網址就可看到公式) 只需要微積分的基礎 http://tinyurl.com/23tbeqb 需要留數積分的基礎 http://tinyurl.com/2bsy3b8 第五章 粒子的波動性、不確定原理 粒子的波動性：由波的合成來推導相速度與群速度 不確定原理： 由 "Fourier transform" 來推導 "不確定原理"，之後就一直用這個關係來解題 第六章 薛丁格方程式解：無限位能井、有限位能井、階梯位能井、方形位壘、 簡諧振盪之拋物位能井 主要在解薛丁格的微分方程式，無限位能井、有限位能井、階梯位能井、方形位壘只是簡 單的ODE而已，不過在處理邊界值時會很複雜要會化簡 0rz 簡諧震盪之拋物位能井要用到級數解，只不過沒關係，可以不用會推導，會用就可以XD 特殊函數可以先預習：Hemite、Legendre、Associated Legendre、SphericalHarmonicY、 Laguerre、Associated Laguerre、SphericalBessel Hemite：簡諧震盪之拋物位能井 SphericalHarmonicY：中心力場角函數 Associated Laguerre：3維庫倫位能井 SphericalBessel：3維自由位能井 第七章 薛丁格方程式解3D氫原子之庫倫位能井、電子自旋、自旋軌道耦合效應、元素 週期表、黎曼效應... PDE的分離變數法解氫原子模型之庫倫位能井的薛丁格方程式， 然後得出徑向函數 Associated Laguerre 和球諧函數 SphericalHarmonicY， 這個部分其實量力會講比較清楚，至於自旋軌道耦合效應、黎曼效應就是微擾 微擾理論要學過線性代數的內積空間才會比較有感覺， 線性代數在量子力學很常用，近物和力學只有解克拉瑪公式， 近代物理其實注重的是物理意義，要學的物理意義比較多， 如果想學完整點的近物的數學可以去看量力，就會碰到很多矩陣、向量， 其實要看的懂量力也要有學過近物，不然會看不懂到底在幹嘛？ 數學算半天不知道在算什麼，所以最好還是有力學和近物的基礎， 線性代數都是在解特徵值跟特徵向量，就是祂的物理量， 可以去參考量子力學的六大公設那篇文章看看， 8094 !1112/20 Frobenius R: [問題] 學會量力是一種天份嗎XD 近物會大概跟你講一下，但很少會跟你講怎麼算來的， 到了量力就會教你怎麼算，甚至不需要波函數也可以算出。 第八章 統計力學：古典統計、量子統計 這部分可以去參考一些有關熱力統計方面的書，數學部分跟黑體輻射的推導很類似 第九章 分子結構與光譜、離子鍵、共價鍵 可從氫原子那邊接著念 第十章 固態物理、導體的古典理論、金屬中的自由電子氣、導體的量子理論、 固體中的磁效應、半導體、超導體 用了很多統計力學和一些求近似值的技巧 第十一章 核物理、原子核的基態、原子核的液滴模型、αβγ射線、核力、殼層模型、 薛丁格方程式解3D無限位能井及自旋軌道耦合效應之修正 對於不同模型的預測要有所理解 第十二章 核反應、核融合與核分裂、原子核的衰變 這一章的數學很簡單，就是觀念要懂，另外原子核的衰變會用到連立一階ODE 第十三章 基本粒子、粒子與反粒子、守恆律與宇稱、標準模型、標準模型之後 這一單元要學過相對論和量子力學才會知道祂的數學是如何被使用 守恆律與宇稱可參考下面這篇文章 8113 412/22 Frobenius R: [問題] 學會量力是一種天份嗎XD 關於基本粒子會用到的數學有群論，尤其是李群， 關於這方面我也不太瞭解，只知道有某些對稱性存在 第十四章 天文物理與宇宙學 (要上網看課本沒有) --

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