※ 引述《oolontea (極樂娃娃)》之銘言： : 所以之前常說，P=hk for wave and P=sqrt(2mEk) for particle : 都是用P operator對Φ作OPERATION的結果囉?? : 只是PARTICLE的Φ(X)=δ(X-X0)假設此PARTICLE在X0 : 而WAVE Φ(X)=exp(-jwt) : 也就是說電子的DISPERSION RELATION 用E=hw=P^2/2m0推出 : W正比於K^2只是近似囉?? 波粒二象性的意義，並不是說有時候該用波描述，有時候該用粒子描述， 而是這兩種性質總是同時存在，不能獨厚一方。 真正的問題出在過去用了過於簡化的模型描述光子或物質。 古典力學中對粒子的描述是帶有固定的位置和動量， 只要知道某個時刻x和p的初始條件和H由x和p描述的形式， 就可以推出粒子在這之後的軌跡。 這件事在量子力學必須被修正，位置和動量不可能同時被確定。 一些科普書甚至量物課本常常只用Δx的數量級來區別偏向粒子還是偏向波， 這個說法其實是錯誤的。 你說的這兩個函數，Φ(X)=δ(X-X0)和Φ(X)=exp(-jwt)， 前者動量的不確定性為無窮大，後者位置的不確定性為無窮大， 這兩個東西都完全無法用古典力學的「粒子」來描述。 事實上這兩個東西只是Hilbert space裡面不同的基底而已， 本質上是沒有不同的。 所謂的「粒子性」去掉固定的位置動量這個性質後， 剩下的就是粒子必須整顆生成整顆消滅的性質， 永遠也不會看到某個交互作用只吸收半顆電子。 光子的問題則是剛好相反， 其實古典電磁學就可以推出電磁波帶有動量， 所以動量本來就不是粒子的專利。 其實Maxwell equation的形式在量子場論下完全不需要修正， 需要修正的只是如何解釋這個理論的問題。 量子理論的第一個重點是要用波來描述粒子， 而Maxwell equation已經符合這個條件， 以這點來說，Maxwell equation意義上和Schroedinger equation是一樣的。 (其實Maxwell equation就是自旋為1的粒子的波方程式。) 事實上(A^μ(x))(A_μ(x))也確實有機率密度的意義， 但是因為Maxwell equation是二次齊次式，機率密度並不守恆， 所以用機率波來描述電磁波沒有任何的意義。 這其實對應到不能用一個不考慮光子生成和消滅的理論來描述光子， 就像Klein-Gordon equation和Dirac equation碰到的問題一樣， 單一光子的量子力學是不well-defined的， 不像電子在非相對論極限下可以用單一電子波函數描述得很好。 同時二次齊次式的拉格朗日函數在不考慮和物質交互作用的情形下， 等號兩邊普朗克常數都是h^2所以完全消光光。 所以古典電磁學描述的是一大堆光子的行為，看不到普朗克常數的效應， 而且沒有一個適當的機制描述光子的生成消滅， 光子數目的量子效應被一大堆光子給掩蓋掉， 最後只看得到干涉效應，成為古典力學下概念下的波。 直到光電效應和康普吞效應的實驗發現之後， 光子必須被整顆吸收的特性才顯露出來。 回到你一開始的問題，你列的兩個等式都是正確的， 但是P=hk for wave and P=sqrt(2mE) for particle這個解釋是錯誤的。 第一個等式的意義是動量算符正比於空間平移算符d/dx， 這很合理，因為古典力學中平移對稱一樣也代表動量守恆， 這道式子等於是這件事情在量子力學下的描述。 對於momentum eigen state e^(ikx)來說， 動量算符的eigen value正比於d/dx的eigen value， 對於一般性的state來說就是前者的期望值正比於後者的期望值。 第二個等式則是描述能量算符和動量算符之間的關係，H=P^2/2m 對於一般性的state算出兩者的期望值後開根號就得到這個等式。 這個等式之所以對光子不適用是因為光子必須用相對論描述， 不是因為光子是波。 至於你最後列的那道式子的意義， 是因為從Hamiltonion的形式來說momentum eigen state同時是energy eigen state， 而這個state會以e^(-iEt/h)作時間的演化(註)，相當於以E/h的頻率振動。 _ 註：應該是h才對，不過BBS上實在太難打了XD --

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