※ 引述《oolontea (极乐娃娃)》之铭言： : 所以之前常说，P=hk for wave and P=sqrt(2mEk) for particle : 都是用P operator对Φ作OPERATION的结果罗?? : 只是PARTICLE的Φ(X)=δ(X-X0)假设此PARTICLE在X0 : 而WAVE Φ(X)=exp(-jwt) : 也就是说电子的DISPERSION RELATION 用E=hw=P^2/2m0推出 : W正比於K^2只是近似罗?? 波粒二象性的意义，并不是说有时候该用波描述，有时候该用粒子描述， 而是这两种性质总是同时存在，不能独厚一方。 真正的问题出在过去用了过於简化的模型描述光子或物质。 古典力学中对粒子的描述是带有固定的位置和动量， 只要知道某个时刻x和p的初始条件和H由x和p描述的形式， 就可以推出粒子在这之後的轨迹。 这件事在量子力学必须被修正，位置和动量不可能同时被确定。 一些科普书甚至量物课本常常只用Δx的数量级来区别偏向粒子还是偏向波， 这个说法其实是错误的。 你说的这两个函数，Φ(X)=δ(X-X0)和Φ(X)=exp(-jwt)， 前者动量的不确定性为无穷大，後者位置的不确定性为无穷大， 这两个东西都完全无法用古典力学的「粒子」来描述。 事实上这两个东西只是Hilbert space里面不同的基底而已， 本质上是没有不同的。 所谓的「粒子性」去掉固定的位置动量这个性质後， 剩下的就是粒子必须整颗生成整颗消灭的性质， 永远也不会看到某个交互作用只吸收半颗电子。 光子的问题则是刚好相反， 其实古典电磁学就可以推出电磁波带有动量， 所以动量本来就不是粒子的专利。 其实Maxwell equation的形式在量子场论下完全不需要修正， 需要修正的只是如何解释这个理论的问题。 量子理论的第一个重点是要用波来描述粒子， 而Maxwell equation已经符合这个条件， 以这点来说，Maxwell equation意义上和Schroedinger equation是一样的。 (其实Maxwell equation就是自旋为1的粒子的波方程式。) 事实上(A^μ(x))(A_μ(x))也确实有机率密度的意义， 但是因为Maxwell equation是二次齐次式，机率密度并不守恒， 所以用机率波来描述电磁波没有任何的意义。 这其实对应到不能用一个不考虑光子生成和消灭的理论来描述光子， 就像Klein-Gordon equation和Dirac equation碰到的问题一样， 单一光子的量子力学是不well-defined的， 不像电子在非相对论极限下可以用单一电子波函数描述得很好。 同时二次齐次式的拉格朗日函数在不考虑和物质交互作用的情形下， 等号两边普朗克常数都是h^2所以完全消光光。 所以古典电磁学描述的是一大堆光子的行为，看不到普朗克常数的效应， 而且没有一个适当的机制描述光子的生成消灭， 光子数目的量子效应被一大堆光子给掩盖掉， 最後只看得到干涉效应，成为古典力学下概念下的波。 直到光电效应和康普吞效应的实验发现之後， 光子必须被整颗吸收的特性才显露出来。 回到你一开始的问题，你列的两个等式都是正确的， 但是P=hk for wave and P=sqrt(2mE) for particle这个解释是错误的。 第一个等式的意义是动量算符正比於空间平移算符d/dx， 这很合理，因为古典力学中平移对称一样也代表动量守恒， 这道式子等於是这件事情在量子力学下的描述。 对於momentum eigen state e^(ikx)来说， 动量算符的eigen value正比於d/dx的eigen value， 对於一般性的state来说就是前者的期望值正比於後者的期望值。 第二个等式则是描述能量算符和动量算符之间的关系，H=P^2/2m 对於一般性的state算出两者的期望值後开根号就得到这个等式。 这个等式之所以对光子不适用是因为光子必须用相对论描述， 不是因为光子是波。 至於你最後列的那道式子的意义， 是因为从Hamiltonion的形式来说momentum eigen state同时是energy eigen state， 而这个state会以e^(-iEt/h)作时间的演化(注)，相当於以E/h的频率振动。 _ 注：应该是h才对，不过BBS上实在太难打了XD --

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