※ 引述《ddwin (山魍魎魅)》之銘言： : [領域]普物 (題目相關領域) : [來源] 考古題 (課本習題、考古題、參考書...) : [題目]A damped harmonic ocsillator with small damping has a period of : 2.0 seconds. It can be driven by a force that varies sinusoidally with : one of the frequencies below. For which frequency the steady-state : amplitude be the largest? : a 0.51Hz b 1.02Hz c 2.04Hz d 4.08Hz e 8.16Hz : [瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答) : 我想先照題目說的 把不受外力但是有阻尼時候的位移算出 這是算2階的齊性解 : 由於他說週期等於 2s 所以可得知此角頻率w' : 再來把受到外力考慮進去 求此特殊解 : 最後把齊性解和特殊解相加 作微分等於0 求此時w多少再換成頻率 : 可是我算出來的東西很奇怪 而且好像搞太複雜了 : 有人可以指點一下嗎? 詳細龜毛版(可跳過): damping: x''+γx'+(ω^2)x = 0 ,ω^2 = k/m let x = Ae^iwt w^2-iγw-ω^2 = 0 => w = iγ/2+√(4ω^2-γ^2)/2 ~ iγ/2+ω (阻尼很小) 因此阻尼週期和簡諧週期可視為一樣 ω=2π/2 = π forced: x''+γx'+(ω^2)x = F 此方程式的解為齊次項+非其次項 齊次項就是damping的解,因為很快就衰減至0,所以此處不必理會 單純討論受迫的非其次項即可 let the force: F = fe^iΩt => let x = Ae^iΩt => A(-Ω^2+iγΩ+ω^2) = f => A = (f/|-Ω^2+iγΩ+ω^2|)e^iθ θ是個延遲相角,此題只要問振幅,所以不必理會 只需考慮Ω為哪個選項時可讓|-Ω^2+iγΩ+ω^2|最小: Ω=2πf, ω=π (ω^2-Ω^2)^2+(γΩ)^2 ~ (ω^2-Ω^2)^2 => π^2-4π^2f^2 = π^2(1-4f^2) ........(*) 選項a可讓(*)式最小,所以答案是a 速算懶人版: 因為題目說小阻尼,所以可以統統當成簡諧運動看 所以2秒就是固有週期=>固有頻率0.5Hz 又簡諧運動的共振是在外力頻率等於固有頻率時, 所以越接近0.5Hz時振幅越高 故答案(a) --

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