※ 引述《ddwin (山魍魉魅)》之铭言： : [领域]普物 (题目相关领域) : [来源] 考古题 (课本习题、考古题、参考书...) : [题目]A damped harmonic ocsillator with small damping has a period of : 2.0 seconds. It can be driven by a force that varies sinusoidally with : one of the frequencies below. For which frequency the steady-state : amplitude be the largest? : a 0.51Hz b 1.02Hz c 2.04Hz d 4.08Hz e 8.16Hz : [瓶颈] (写写自己的想法，方便大家为你解答) : 我想先照题目说的 把不受外力但是有阻尼时候的位移算出 这是算2阶的齐性解 : 由於他说周期等於 2s 所以可得知此角频率w' : 再来把受到外力考虑进去 求此特殊解 : 最後把齐性解和特殊解相加 作微分等於0 求此时w多少再换成频率 : 可是我算出来的东西很奇怪 而且好像搞太复杂了 : 有人可以指点一下吗? 详细龟毛版(可跳过): damping: x''+γx'+(ω^2)x = 0 ,ω^2 = k/m let x = Ae^iwt w^2-iγw-ω^2 = 0 => w = iγ/2+√(4ω^2-γ^2)/2 ~ iγ/2+ω (阻尼很小) 因此阻尼周期和简谐周期可视为一样 ω=2π/2 = π forced: x''+γx'+(ω^2)x = F 此方程式的解为齐次项+非其次项 齐次项就是damping的解,因为很快就衰减至0,所以此处不必理会 单纯讨论受迫的非其次项即可 let the force: F = fe^iΩt => let x = Ae^iΩt => A(-Ω^2+iγΩ+ω^2) = f => A = (f/|-Ω^2+iγΩ+ω^2|)e^iθ θ是个延迟相角,此题只要问振幅,所以不必理会 只需考虑Ω为哪个选项时可让|-Ω^2+iγΩ+ω^2|最小: Ω=2πf, ω=π (ω^2-Ω^2)^2+(γΩ)^2 ~ (ω^2-Ω^2)^2 => π^2-4π^2f^2 = π^2(1-4f^2) ........(*) 选项a可让(*)式最小,所以答案是a 速算懒人版: 因为题目说小阻尼,所以可以统统当成简谐运动看 所以2秒就是固有周期=>固有频率0.5Hz 又简谐运动的共振是在外力频率等於固有频率时, 所以越接近0.5Hz时振幅越高 故答案(a) --

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