作者newhan (((((((())))))))
看板Physics
標題Re: [題目] 基本的空間向量積分問題
時間Thu Mar 13 00:06:40 2008
※ 引述《SmArTyau (SmArT)》之銘言：
: : → → → →
: : 題目是：電通密度向量為D =6y i + 2x j + 14xy k 單位:庫倫/平方公尺
: : (a)一矩形平面，邊界為線段 x+y=2 (x,y>0) 及 z=0~2
: : (b)xy平面上，一半徑10cm的圓
: : 求通過平面的電通量？
: : (a)我想到的作法是，D從(2,0,0)點,沿著x+y=2,積分到(0,2,0)點
: : 意義是...得到這條線上D的向量和嗎？ 然後再跟平面法向量n做內積
: : 再乘以2(因為高度z變動不會改變D,所以直接乘2倍)
: : 答案應該是純量值嗎？
: (a)
: → → →
: d A = (dx^2+dy^2)^0.5 dz (i + j ) (y=2-x ,dy/dx= -1)
: → → → →
: = (1 + (dy/dx)^2)^0.5 dx dz (i +j ) = 2^0.5 dx dz (i +j )
: → →
: ∫D ．d A = ∫(6y + 2x)*2^0.5 dx dz (其中y=2-x,x範圍0~2,z範圍0~2)
: = 2^0.5*(12xz-2x^2z) x範圍0~2,z範圍0~2
: = 2^0.5*2*(24-8) = 32*2^0.5 (庫倫)
謝謝回答！ 不過我還有個疑問@@ 我看課本上有算 "向量的純量積分"
ex:向量F施力於某物體，沿著某某路徑走，求作功多少
可以用在這裡嗎？ 如果照算，先把D沿著x+y=2的路徑積分，
i,
j方向分開積：
∫6y dx
i + ∫2x dy
j = ∫6(2-x) dx
i + ∫2(2-y) dy
j
= 12x-3x^2
i + 4y-y^2
j 代入上下限0~2 = 12
i + 4
j ？？
→
假設這樣積出來的還是向量沒錯... 而平面的單位法向量n =(1,1)/√2
內積： 變成6√2 + 2√2 = 8√2 最後再乘以2(高) = 16√2
差了兩倍@@ 這樣不行嗎
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◆ From: 123.192.6.25
※ 編輯: newhan 來自: 123.192.6.25 (03/13 00:09)
1F：→ SmArTyau:看了你的文章 我才想到 我方向的部分忘了弄成單位向量@@ 03/13 00:23
2F：→ SmArTyau:這樣子怪怪的...dx跟dy有一關係 不能分開的 03/13 00:52
3F：→ chungweitw:可以呀..這樣做並沒錯 03/13 01:18
4F：→ newhan:所以到底是該怎麼做呢 Orz 03/13 01:36
5F：→ SmArTyau:應該是錯了 不過改一下 答案會一樣 03/13 01:59
6F：→ SmArTyau:我先說我的想法好了 你要積的路徑應該是一個斜線 03/13 02:00
7F：→ SmArTyau:可是你卻直接對他的鄰邊跟對邊積分...(我把他想成三角型) 03/13 02:00
8F：→ SmArTyau:有點像是...路徑是／的樣子 你卻積─跟│ 03/13 02:02
9F：→ chungweitw:恩...sorry...這樣做不對. 我簡短發在下一篇 03/13 02:09