作者newhan (((((((())))))))
看板Physics
标题Re: [题目] 基本的空间向量积分问题
时间Thu Mar 13 00:06:40 2008
※ 引述《SmArTyau (SmArT)》之铭言：
: : → → → →
: : 题目是：电通密度向量为D =6y i + 2x j + 14xy k 单位:库伦/平方公尺
: : (a)一矩形平面，边界为线段 x+y=2 (x,y>0) 及 z=0~2
: : (b)xy平面上，一半径10cm的圆
: : 求通过平面的电通量？
: : (a)我想到的作法是，D从(2,0,0)点,沿着x+y=2,积分到(0,2,0)点
: : 意义是...得到这条线上D的向量和吗？ 然後再跟平面法向量n做内积
: : 再乘以2(因为高度z变动不会改变D,所以直接乘2倍)
: : 答案应该是纯量值吗？
: (a)
: → → →
: d A = (dx^2+dy^2)^0.5 dz (i + j ) (y=2-x ,dy/dx= -1)
: → → → →
: = (1 + (dy/dx)^2)^0.5 dx dz (i +j ) = 2^0.5 dx dz (i +j )
: → →
: ∫D ．d A = ∫(6y + 2x)*2^0.5 dx dz (其中y=2-x,x范围0~2,z范围0~2)
: = 2^0.5*(12xz-2x^2z) x范围0~2,z范围0~2
: = 2^0.5*2*(24-8) = 32*2^0.5 (库伦)
谢谢回答！ 不过我还有个疑问@@ 我看课本上有算 "向量的纯量积分"
ex:向量F施力於某物体，沿着某某路径走，求作功多少
可以用在这里吗？ 如果照算，先把D沿着x+y=2的路径积分，
i,
j方向分开积：
∫6y dx
i + ∫2x dy
j = ∫6(2-x) dx
i + ∫2(2-y) dy
j
= 12x-3x^2
i + 4y-y^2
j 代入上下限0~2 = 12
i + 4
j ？？
→
假设这样积出来的还是向量没错... 而平面的单位法向量n =(1,1)/√2
内积： 变成6√2 + 2√2 = 8√2 最後再乘以2(高) = 16√2
差了两倍@@ 这样不行吗
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bbs打算式打符号好累= =
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◆ From: 123.192.6.25
※ 编辑: newhan 来自: 123.192.6.25 (03/13 00:09)
1F：→ SmArTyau:看了你的文章 我才想到 我方向的部分忘了弄成单位向量@@ 03/13 00:23
2F：→ SmArTyau:这样子怪怪的...dx跟dy有一关系 不能分开的 03/13 00:52
3F：→ chungweitw:可以呀..这样做并没错 03/13 01:18
4F：→ newhan:所以到底是该怎麽做呢 Orz 03/13 01:36
5F：→ SmArTyau:应该是错了 不过改一下 答案会一样 03/13 01:59
6F：→ SmArTyau:我先说我的想法好了 你要积的路径应该是一个斜线 03/13 02:00
7F：→ SmArTyau:可是你却直接对他的邻边跟对边积分...(我把他想成三角型) 03/13 02:00
8F：→ SmArTyau:有点像是...路径是／的样子 你却积─跟│ 03/13 02:02
9F：→ chungweitw:恩...sorry...这样做不对. 我简短发在下一篇 03/13 02:09