作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
標題Re: [物數] Factorial Function
時間Sun Feb 24 17:42:35 2008
※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0) 看板: Math
: 標題: [物數] Factorial Function
: 時間: Wed Dec 12 08:29:23 2007
: Mathematical Methods For Physicists 5th ( Arfken and Weber )
: Chapter 10 The Gamma Function ( Factorial Function )
: Exercises 10.1.3
: Show that
: n-s
: (s - n)! (-1) (2n - 2s)!
: ────── = ────────
: (2s - 2n)! (n - s)!
: Here s and n are integers with s < n. This result can be used to avoid
: negative factorials such as in the series representations of the spherical
: Neumann funtions and the Legendre functions of the second kind.
: 我認為前式在 s > n 適用，後式在 s < n 適用，視情況可互相轉換，
: 不過我一直推導不出來，希望版上高手能幫我解決這個問題，謝謝^^
Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(zπ)
Γ(1-z) = π/(Γ(z)sin(zπ))
let k = n - s => s - n = - k ； 2s - 2n = - 2k
(s - n)! = (- k)! = Γ(1-k) = π/(Γ(k)sin(kπ))
(2s - 2n)! = (- 2k)! = Γ(1-2k) = π/(Γ(2k)sin(2kπ))
= π/(Γ(2k)2sin(kπ)cos(kπ))
(s - n)! π/(Γ(k)sin(kπ)) cos(kπ) 2Γ(2k)
────── = ────────────── = ────────
(2s - 2n)! π/(Γ(2k)2sin(kπ)cos(kπ)) Γ(k)
k k k n-s
(-1) (2k) Γ(2k) (-1) Γ(2k + 1) (-1) (2k)! (-1) (2n - 2s)!
= ──────── = ──────── = ───── = ────────
(k) Γ(k) Γ(k + 1) k! (n - s)!
感謝 timlintt 大 ^^
不過這下新的問題又出來了，Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(zπ) 又是怎麼得出來的 XD
好像會牽扯到無窮乘積 orz
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◆ From: 140.122.225.109
1F：推 Linderman:Γ(z)Γ(1-z)是很出名的結果,我記得王竹溪那本應該有吧 02/24 17:47
2F：→ Linderman:以前我們物數用這本和Arfk,這個式子記得好像還蠻好用的 02/24 17:49
3F：推 Linderman:我是看F大這麼認真po不小心手癢才回的,以後我不會再這裡 02/24 17:52
4F：→ Linderman:寫任何東西了,現在知道我做了有多少吃力又不討好的事情 02/24 17:53
5F：→ Linderman:不過還是謝謝還是有極少數人支持我,謝謝你們這些人 02/24 17:54
6F：推 Linderman:還有像是jimiras這種想寫信問人後也要罵人的,拜託別來 02/24 18:00
7F：推 benwenbb:timlintt剛剛密我說 他說我是timlintt大耶 看來他挺開心 02/24 21:19
8F：→ Frobenius:先把這個結果先記起來好了，有時間再來研究無窮乘積XD 02/24 21:29
9F：推 mouwat:beta?複變? 02/24 21:51
10F：推 Linderman:推樓上,應數是變成beta函數在變數變換再做複變積分 02/24 22:23