作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
标题Re: [物数] Factorial Function
时间Sun Feb 24 17:42:35 2008
※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之铭言：
: ※ [本文转录自 Math 看板]
: 作者: Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0) 看板: Math
: 标题: [物数] Factorial Function
: 时间: Wed Dec 12 08:29:23 2007
: Mathematical Methods For Physicists 5th ( Arfken and Weber )
: Chapter 10 The Gamma Function ( Factorial Function )
: Exercises 10.1.3
: Show that
: n-s
: (s - n)! (-1) (2n - 2s)!
: ────── = ────────
: (2s - 2n)! (n - s)!
: Here s and n are integers with s < n. This result can be used to avoid
: negative factorials such as in the series representations of the spherical
: Neumann funtions and the Legendre functions of the second kind.
: 我认为前式在 s > n 适用，後式在 s < n 适用，视情况可互相转换，
: 不过我一直推导不出来，希望版上高手能帮我解决这个问题，谢谢^^
Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(zπ)
Γ(1-z) = π/(Γ(z)sin(zπ))
let k = n - s => s - n = - k ； 2s - 2n = - 2k
(s - n)! = (- k)! = Γ(1-k) = π/(Γ(k)sin(kπ))
(2s - 2n)! = (- 2k)! = Γ(1-2k) = π/(Γ(2k)sin(2kπ))
= π/(Γ(2k)2sin(kπ)cos(kπ))
(s - n)! π/(Γ(k)sin(kπ)) cos(kπ) 2Γ(2k)
────── = ────────────── = ────────
(2s - 2n)! π/(Γ(2k)2sin(kπ)cos(kπ)) Γ(k)
k k k n-s
(-1) (2k) Γ(2k) (-1) Γ(2k + 1) (-1) (2k)! (-1) (2n - 2s)!
= ──────── = ──────── = ───── = ────────
(k) Γ(k) Γ(k + 1) k! (n - s)!
感谢 timlintt 大 ^^
不过这下新的问题又出来了，Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(zπ) 又是怎麽得出来的 XD
好像会牵扯到无穷乘积 orz
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◆ From: 140.122.225.109
1F：推 Linderman:Γ(z)Γ(1-z)是很出名的结果,我记得王竹溪那本应该有吧 02/24 17:47
2F：→ Linderman:以前我们物数用这本和Arfk,这个式子记得好像还蛮好用的 02/24 17:49
3F：推 Linderman:我是看F大这麽认真po不小心手痒才回的,以後我不会再这里 02/24 17:52
4F：→ Linderman:写任何东西了,现在知道我做了有多少吃力又不讨好的事情 02/24 17:53
5F：→ Linderman:不过还是谢谢还是有极少数人支持我,谢谢你们这些人 02/24 17:54
6F：推 Linderman:还有像是jimiras这种想写信问人後也要骂人的,拜托别来 02/24 18:00
7F：推 benwenbb:timlintt刚刚密我说 他说我是timlintt大耶 看来他挺开心 02/24 21:19
8F：→ Frobenius:先把这个结果先记起来好了，有时间再来研究无穷乘积XD 02/24 21:29
9F：推 mouwat:beta?复变? 02/24 21:51
10F：推 Linderman:推楼上,应数是变成beta函数在变数变换再做复变积分 02/24 22:23