作者chungweitw (八卦版真是腦殘大本營)
看板Physics
標題Re: [轉錄]Re: 1+2+4+8+16.......= -1 怎麼證明?
時間Sun Feb 24 13:13:44 2008
※ 引述《breedy (@石溪)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: WINDHEAD (Grothendieck吹頭) 看板: Math
: 標題: Re: 2+4+8+16.......= -1 怎麼證明?
: 時間: Wed Feb 20 23:45:17 2008
: ※ 引述《breedy (@石溪)》之銘言：
: : 之前聽過一個很簡易的證法 不需要用Riemann Zeta 還是Euler zeta function
: : 2^n (n=0 - 無限大) = -1
: : 請指教 謝謝~
: 1
: 1+x+x^2+x^3+.. = -----
: 1-x
: x=2
有人提到 analytic continuation.
( 雖然上式即使在複數平面仍然是錯的 ).
讓我想到場論裡面似乎也有類似問題.
場論裡面算 vacuum polarization 的時候.
以 Dyson series 做展開.
其實每一項也都無窮大...
但是以 alpha = 1/137 為 order 展開..所以認定越高階項越小.
( 其實扣除 alpha 並沒有越小).
最後則使用了類似上面的式子 ( 幾何級數 ) .
我一直以來的想法是...
用 Dyson series 做展開, 先不管他是不是發散...做就對了..
最後寫成 1 / (1-x) 的形式和實驗吻合..
就認為 1 / (1-x) 是對的了..於是把這個 Dyson series 的
analytic continuation 認為在所有複數空間都對
( 即使當初是從 Dyson series 做 perturbation 開始構築這理論 )
也許我想法不太對.
( 凝態裡面, 在 high density limit 就真的是收斂了..真好.)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 24.250.204.53
※ 編輯: chungweitw 來自: 24.250.204.53 (02/24 13:26)
1F：推 breedy:為什麼在複數平面是錯的? 02/24 14:04
2F：→ chungweitw:右式是左式的 analytic continuation. 02/24 14:15
3F：→ chungweitw:但是左式不能直接寫成右式. 因為在 x = 2, 不在左式的 02/24 14:16
4F：→ chungweitw:收斂半徑內. 我學過的物數 是這樣教我的 02/24 14:16
5F：→ chungweitw:我是要說 右式 在 x=2 不能寫成左式. ( 上面寫相反) 02/24 14:17
6F：推 breedy:AC的意義就在把等式continue到收斂半徑外 但細節我還要確認 02/24 14:28
7F：→ chungweitw:continue 到收斂半徑外, 變成 1/ (1-x). 但是在收斂 02/25 13:19
8F：→ chungweitw:半徑外, 就不能展開成左式. 要對不同的 點 做展開才可 02/25 13:19
9F：→ chungweitw:以. 02/25 13:20
10F：→ chungweitw:所以級數本身就該收斂啊..結果在算這個時, 每項都發散. 03/02 00:24
11F：→ chungweitw:但是場論課本照做不誤 03/02 00:25
12F：→ chungweitw:場論很賊..就說越高階, aplha (1/137)越多.. 03/02 00:28
13F：→ chungweitw:所以就可以sum 成幾何級數. 問題是越高階, 也越發散 03/02 00:29
14F：→ chungweitw:把無窮大的項全部丟到constant 然後重做 03/02 00:30
15F：→ chungweitw:問題是之前沒有renormalization時, 我覺得有點怪怪 03/02 00:31