作者chungweitw (八卦版真是脑残大本营)
看板Physics
标题Re: [转录]Re: 1+2+4+8+16.......= -1 怎麽证明?
时间Sun Feb 24 13:13:44 2008
※ 引述《breedy (@石溪)》之铭言：
: ※ [本文转录自 Math 看板]
: 作者: WINDHEAD (Grothendieck吹头) 看板: Math
: 标题: Re: 2+4+8+16.......= -1 怎麽证明?
: 时间: Wed Feb 20 23:45:17 2008
: ※ 引述《breedy (@石溪)》之铭言：
: : 之前听过一个很简易的证法 不需要用Riemann Zeta 还是Euler zeta function
: : 2^n (n=0 - 无限大) = -1
: : 请指教 谢谢~
: 1
: 1+x+x^2+x^3+.. = -----
: 1-x
: x=2
有人提到 analytic continuation.
( 虽然上式即使在复数平面仍然是错的 ).
让我想到场论里面似乎也有类似问题.
场论里面算 vacuum polarization 的时候.
以 Dyson series 做展开.
其实每一项也都无穷大...
但是以 alpha = 1/137 为 order 展开..所以认定越高阶项越小.
( 其实扣除 alpha 并没有越小).
最後则使用了类似上面的式子 ( 几何级数 ) .
我一直以来的想法是...
用 Dyson series 做展开, 先不管他是不是发散...做就对了..
最後写成 1 / (1-x) 的形式和实验吻合..
就认为 1 / (1-x) 是对的了..於是把这个 Dyson series 的
analytic continuation 认为在所有复数空间都对
( 即使当初是从 Dyson series 做 perturbation 开始构筑这理论 )
也许我想法不太对.
( 凝态里面, 在 high density limit 就真的是收敛了..真好.)
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 24.250.204.53
※ 编辑: chungweitw 来自: 24.250.204.53 (02/24 13:26)
1F：推 breedy:为什麽在复数平面是错的? 02/24 14:04
2F：→ chungweitw:右式是左式的 analytic continuation. 02/24 14:15
3F：→ chungweitw:但是左式不能直接写成右式. 因为在 x = 2, 不在左式的 02/24 14:16
4F：→ chungweitw:收敛半径内. 我学过的物数 是这样教我的 02/24 14:16
5F：→ chungweitw:我是要说 右式 在 x=2 不能写成左式. ( 上面写相反) 02/24 14:17
6F：推 breedy:AC的意义就在把等式continue到收敛半径外 但细节我还要确认 02/24 14:28
7F：→ chungweitw:continue 到收敛半径外, 变成 1/ (1-x). 但是在收敛 02/25 13:19
8F：→ chungweitw:半径外, 就不能展开成左式. 要对不同的 点 做展开才可 02/25 13:19
9F：→ chungweitw:以. 02/25 13:20
10F：→ chungweitw:所以级数本身就该收敛啊..结果在算这个时, 每项都发散. 03/02 00:24
11F：→ chungweitw:但是场论课本照做不误 03/02 00:25
12F：→ chungweitw:场论很贼..就说越高阶, aplha (1/137)越多.. 03/02 00:28
13F：→ chungweitw:所以就可以sum 成几何级数. 问题是越高阶, 也越发散 03/02 00:29
14F：→ chungweitw:把无穷大的项全部丢到constant 然後重做 03/02 00:30
15F：→ chungweitw:问题是之前没有renormalization时, 我觉得有点怪怪 03/02 00:31