作者breedy (@石溪)
看板Physics
標題[轉錄]Re: 2+4+8+16.......= -1 怎麼證明?
時間Fri Feb 22 12:21:39 2008
※ [本文轉錄自 Math 看板]
作者: WINDHEAD (Grothendieck吹頭) 看板: Math
標題: Re: 2+4+8+16.......= -1 怎麼證明?
時間: Wed Feb 20 23:45:17 2008
※ 引述《breedy (@石溪)》之銘言：
: 之前聽過一個很簡易的證法 不需要用Riemann Zeta 還是Euler zeta function
: 2^n (n=0 - 無限大) = -1
: 請指教 謝謝~
1
1+x+x^2+x^3+.. = -----
1-x
x=2
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◆ From: 61.224.41.128
1F：推 Tenka:要 |x|<1 吧 02/20 23:49
2F：推 h2o1125:x=2有收斂嗎QQ 02/20 23:52
3F：→ WINDHEAD:有收斂阿 不在實數裡面而已 02/20 23:54
4F：推 lion1004:好詭異的感覺 真的可以這樣嗎? 02/20 23:55
5F：→ WINDHEAD:在實數裡面不可以 02/20 23:56
6F：推 vn503709:...怎麼可能可以@@ 該數列最後會發散欸 這樣級數會收斂? 02/20 23:56
7F：推 h2o1125:發散級數收斂至任意點 1+1-1+1-1....也可以證明和是1/2 02/21 00:01
8F：→ WINDHEAD:在實數裡面不收斂 02/21 00:05
9F：→ CMJ0121:夫爺 這要學到什麼才會知道阿= =? 02/21 00:38
10F：推 lion1004:果然程度太低了QQ 不在實數系這個式子真的難以想像 02/21 00:40
11F：→ lion1004:一串正的等比級數加到無窮大居然收斂到-1 哇賽...... 02/21 00:42
12F：推 harry901:樓上的 別太訝異 這就是數學的奧妙之處 02/21 00:44
13F：→ harry901:這就很像當初你國中畢業到高中學數學竟然發現根號裡面可 02/21 00:44
14F：→ harry901:已有負的一樣 這種驚喜已經讓我"受過太多次" 所以我也 02/21 00:44
15F：→ harry901:沒有很大的反應怎麼 天ㄚ~~~ 會這樣 冏rz 02/21 00:45
16F：→ WINDHEAD:回CMJ...這個不知道也沒關係啦 02/21 01:31
17F：→ linbigheads:在C也不行 看來只能在更大的field下做事了 02/21 09:40
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◆ From: 71.190.158.81
19F：→ breedy:維基好威~ 02/22 12:58
20F：推 ingf:太神奇了.......... 02/22 13:33
21F：推 alongbow:超神奇 02/22 13:58
22F：推 threedices:果然物理還是比較務實..直接找wiki XD 02/22 14:40
23F：推 profyang:囧... 02/22 14:56
24F：推 Farady:弦論用這個式子消除無窮大.. 囧 02/22 14:59
25F：推 pleasetoyou:用傅利葉函數吧或者用ln(1+x)=x+x^2+......... 02/22 15:48
26F：→ pleasetoyou:還有利用三角函數去算,我忘了,有人會嗎??? 02/22 15:59
27F：→ jjsakurai:這個等式是錯的吧 很擔心這會誤導到一些人 02/22 16:07
28F：推 pleasetoyou:是不是又有人罵我婊子,白痴,題目都出錯了,沒看原po問 02/22 17:44
29F：→ pleasetoyou:什麼嗎???總覺得有些人心態有毛病,就算是真的出錯, 02/22 17:45
30F：→ pleasetoyou:也不只我一個人出錯阿,沒必要在ptt這種學術網站公報私 02/22 17:46
31F：→ pleasetoyou:仇,我可懶得跟那群性低能吵架,等等搞不好又有人po文說 02/22 17:47
32F：→ pleasetoyou:亂版,台灣真是個民主的地方,別人有自由權利,我卻只能 02/22 17:49
33F：→ pleasetoyou:受到謾罵和污辱 02/22 17:50
34F：推 red0210:樓上在說什麼...我怎麼看不懂... 02/22 18:52
35F：→ red0210:我覺得這個式子應該是錯的吧... 照這樣講 X代入任意數 02/22 18:52
36F：→ red0210:就算是發散數列也會有極限... 02/22 18:52
37F：→ red0210:那個1/(1-x)也是建立在x<1的條件下，所以...? 02/22 18:53
38F：推 Federerstone:樓上可以看一下原文的推文 裡面有說 還是有收斂 02/22 18:56
39F：推 sputtering:討厭放話式po文 要不就隱忍 要不就一次講清楚...... 02/22 20:39
40F：推 red0210:我實在是看不太懂推文耶... 以高一教的極限 記得不是收斂 02/22 20:47
41F：→ red0210:可以再問為什麼到無限大會變-1嗎XD 我覺得這種東西以定義 02/22 20:48
42F：→ red0210:來說會比較好耶....? 02/22 20:48
43F：推 Gwaewluin:高一上的是實變函數，1/(1-x)在複平面裡是解析的，所以 02/22 21:22
44F：→ Gwaewluin:可以代2進去，也可以代-1進去都沒問題 02/22 21:23
45F：→ mtdas:我覺得wiki那樣寫比較好理解.. 若s≠∞, 則: 02/22 22:11
46F：→ mtdas:s = 1+2+4+8+... = 1+2(1+2+4+8+...) = 1+2s → s = -1 02/22 22:11
47F：→ breedy:這裡重點是 analytic continuation 02/22 22:27
48F：→ harry901:我發現我以前學過 居然忘了 (簽名檔又可以拿這個唬人了 02/22 22:37
49F：→ breedy:其實這背後原裡跟從 2! 去定義 2.5! 是一樣的 02/22 22:41
50F：推 adaw:昨天我們老師才剛講analytic continuation 今天板上就po XD 02/23 00:13
51F：→ jjsakurai:解析延拓是指從實數軸上延拓到半徑小於1的複數平面內 02/23 08:58
52F：推 AppleFox:不用理那個物理版的"吉祥物"啦 他喜歡自言自語 02/23 10:41
53F：推 red0210:那可以代1嗎? 02/23 12:36
54F：推 red0210:那個pxxxxxxxxxx是QKboy?? 囧 02/23 12:38
55F：→ breedy:可以代一阿就發散 解析延拓的意義就在把不發散的區域推出去 02/23 12:44
57F：推 Frobenius:將網頁中的 x 和 t 互換，變成 02/23 20:06
58F：→ Frobenius: 02/23 20:06
59F：推 Frobenius:∞ n x 02/23 20:10
60F：→ Frobenius:Σ Fibonacci[n,z]x = ────── 02/23 20:10
61F：→ Frobenius:n=0 1 - xz - x^2 02/23 20:10
62F：→ Frobenius: 02/23 20:11
63F：推 Frobenius:∞ n x 02/23 20:13
64F：→ Frobenius:Σ Fibonacci[n,1]x = ────── 02/23 20:13
65F：→ Frobenius:n=0 1 - x - x^2 02/23 20:14
66F：→ Frobenius: 02/23 20:14
67F：推 Frobenius: 2 3 4 5 6 02/23 20:16
68F：→ Frobenius:即 0 + x + x + 2x + 3x + 5x + 8x + … = x/(1-x-x^2) 02/23 20:16
69F：→ Frobenius:當 x = 1 02/23 20:16
70F：→ Frobenius:則 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + … = 1/(1-1-1^2)= -1 02/23 20:16
71F：推 Frobenius:也就是說若在複數域，以上的數列是收斂在 -1 02/23 20:19
72F：推 Frobenius:若在實數域，以上的數列在收斂範圍 x=(-1±√5)/2 之外 02/23 20:22
73F：推 Frobenius:所以才會發散！以前也有得出此結果，真是令人驚訝@@ 02/23 20:24
74F：推 Frobenius:沒想到在弦論之中的計算竟然是允許的 XD 02/23 20:26
75F：推 Frobenius:又 ㏑|x+1| = x - x^2/2 + x^3/3 - + - + … 02/23 20:44
76F：推 Frobenius:且 x/(1-x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + + + … 02/23 20:47
77F：推 gonghour:F大 用推文的不會太累嗎 = = 02/23 21:31
78F：推 Frobenius:我有想過要直接回文，不過我想不到祂的物理意義XD 02/23 22:29
79F：推 Frobenius:覺得這樣推得出來蠻屌的 + 讓推文數增加易引起注意～ 02/23 22:31
80F：推 harry901:要給他爆嗎? 02/23 22:36
81F：→ breedy:XD 感謝樓上 02/23 22:36
82F：推 Frobenius:照這樣說那是不是假如有線性函數可以疊加成母函數，只要 02/23 23:05
83F：→ Frobenius:不是在奇點上，那麼在複數域中都收斂囉！？ 02/23 23:06