作者breedy (@石溪)
看板Physics
标题[转录]Re: 2+4+8+16.......= -1 怎麽证明?
时间Fri Feb 22 12:21:39 2008
※ [本文转录自 Math 看板]
作者: WINDHEAD (Grothendieck吹头) 看板: Math
标题: Re: 2+4+8+16.......= -1 怎麽证明?
时间: Wed Feb 20 23:45:17 2008
※ 引述《breedy (@石溪)》之铭言：
: 之前听过一个很简易的证法 不需要用Riemann Zeta 还是Euler zeta function
: 2^n (n=0 - 无限大) = -1
: 请指教 谢谢~
1
1+x+x^2+x^3+.. = -----
1-x
x=2
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◆ From: 61.224.41.128
1F：推 Tenka:要 |x|<1 吧 02/20 23:49
2F：推 h2o1125:x=2有收敛吗QQ 02/20 23:52
3F：→ WINDHEAD:有收敛阿 不在实数里面而已 02/20 23:54
4F：推 lion1004:好诡异的感觉 真的可以这样吗? 02/20 23:55
5F：→ WINDHEAD:在实数里面不可以 02/20 23:56
6F：推 vn503709:...怎麽可能可以@@ 该数列最後会发散欸 这样级数会收敛? 02/20 23:56
7F：推 h2o1125:发散级数收敛至任意点 1+1-1+1-1....也可以证明和是1/2 02/21 00:01
8F：→ WINDHEAD:在实数里面不收敛 02/21 00:05
9F：→ CMJ0121:夫爷 这要学到什麽才会知道阿= =? 02/21 00:38
10F：推 lion1004:果然程度太低了QQ 不在实数系这个式子真的难以想像 02/21 00:40
11F：→ lion1004:一串正的等比级数加到无穷大居然收敛到-1 哇赛...... 02/21 00:42
12F：推 harry901:楼上的 别太讶异 这就是数学的奥妙之处 02/21 00:44
13F：→ harry901:这就很像当初你国中毕业到高中学数学竟然发现根号里面可 02/21 00:44
14F：→ harry901:已有负的一样 这种惊喜已经让我"受过太多次" 所以我也 02/21 00:44
15F：→ harry901:没有很大的反应怎麽 天ㄚ~~~ 会这样 冏rz 02/21 00:45
16F：→ WINDHEAD:回CMJ...这个不知道也没关系啦 02/21 01:31
17F：→ linbigheads:在C也不行 看来只能在更大的field下做事了 02/21 09:40
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 71.190.158.81
19F：→ breedy:维基好威~ 02/22 12:58
20F：推 ingf:太神奇了.......... 02/22 13:33
21F：推 alongbow:超神奇 02/22 13:58
22F：推 threedices:果然物理还是比较务实..直接找wiki XD 02/22 14:40
23F：推 profyang:囧... 02/22 14:56
24F：推 Farady:弦论用这个式子消除无穷大.. 囧 02/22 14:59
25F：推 pleasetoyou:用傅利叶函数吧或者用ln(1+x)=x+x^2+......... 02/22 15:48
26F：→ pleasetoyou:还有利用三角函数去算,我忘了,有人会吗??? 02/22 15:59
27F：→ jjsakurai:这个等式是错的吧 很担心这会误导到一些人 02/22 16:07
28F：推 pleasetoyou:是不是又有人骂我婊子,白痴,题目都出错了,没看原po问 02/22 17:44
29F：→ pleasetoyou:什麽吗???总觉得有些人心态有毛病,就算是真的出错, 02/22 17:45
30F：→ pleasetoyou:也不只我一个人出错阿,没必要在ptt这种学术网站公报私 02/22 17:46
31F：→ pleasetoyou:仇,我可懒得跟那群性低能吵架,等等搞不好又有人po文说 02/22 17:47
32F：→ pleasetoyou:乱版,台湾真是个民主的地方,别人有自由权利,我却只能 02/22 17:49
33F：→ pleasetoyou:受到谩骂和污辱 02/22 17:50
34F：推 red0210:楼上在说什麽...我怎麽看不懂... 02/22 18:52
35F：→ red0210:我觉得这个式子应该是错的吧... 照这样讲 X代入任意数 02/22 18:52
36F：→ red0210:就算是发散数列也会有极限... 02/22 18:52
37F：→ red0210:那个1/(1-x)也是建立在x<1的条件下，所以...? 02/22 18:53
38F：推 Federerstone:楼上可以看一下原文的推文 里面有说 还是有收敛 02/22 18:56
39F：推 sputtering:讨厌放话式po文 要不就隐忍 要不就一次讲清楚...... 02/22 20:39
40F：推 red0210:我实在是看不太懂推文耶... 以高一教的极限 记得不是收敛 02/22 20:47
41F：→ red0210:可以再问为什麽到无限大会变-1吗XD 我觉得这种东西以定义 02/22 20:48
42F：→ red0210:来说会比较好耶....? 02/22 20:48
43F：推 Gwaewluin:高一上的是实变函数，1/(1-x)在复平面里是解析的，所以 02/22 21:22
44F：→ Gwaewluin:可以代2进去，也可以代-1进去都没问题 02/22 21:23
45F：→ mtdas:我觉得wiki那样写比较好理解.. 若s≠∞, 则: 02/22 22:11
46F：→ mtdas:s = 1+2+4+8+... = 1+2(1+2+4+8+...) = 1+2s → s = -1 02/22 22:11
47F：→ breedy:这里重点是 analytic continuation 02/22 22:27
48F：→ harry901:我发现我以前学过 居然忘了 (签名档又可以拿这个唬人了 02/22 22:37
49F：→ breedy:其实这背後原里跟从 2! 去定义 2.5! 是一样的 02/22 22:41
50F：推 adaw:昨天我们老师才刚讲analytic continuation 今天板上就po XD 02/23 00:13
51F：→ jjsakurai:解析延拓是指从实数轴上延拓到半径小於1的复数平面内 02/23 08:58
52F：推 AppleFox:不用理那个物理版的"吉祥物"啦 他喜欢自言自语 02/23 10:41
53F：推 red0210:那可以代1吗? 02/23 12:36
54F：推 red0210:那个pxxxxxxxxxx是QKboy?? 囧 02/23 12:38
55F：→ breedy:可以代一阿就发散 解析延拓的意义就在把不发散的区域推出去 02/23 12:44
57F：推 Frobenius:将网页中的 x 和 t 互换，变成 02/23 20:06
58F：→ Frobenius: 02/23 20:06
59F：推 Frobenius:∞ n x 02/23 20:10
60F：→ Frobenius:Σ Fibonacci[n,z]x = ────── 02/23 20:10
61F：→ Frobenius:n=0 1 - xz - x^2 02/23 20:10
62F：→ Frobenius: 02/23 20:11
63F：推 Frobenius:∞ n x 02/23 20:13
64F：→ Frobenius:Σ Fibonacci[n,1]x = ────── 02/23 20:13
65F：→ Frobenius:n=0 1 - x - x^2 02/23 20:14
66F：→ Frobenius: 02/23 20:14
67F：推 Frobenius: 2 3 4 5 6 02/23 20:16
68F：→ Frobenius:即 0 + x + x + 2x + 3x + 5x + 8x + … = x/(1-x-x^2) 02/23 20:16
69F：→ Frobenius:当 x = 1 02/23 20:16
70F：→ Frobenius:则 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + … = 1/(1-1-1^2)= -1 02/23 20:16
71F：推 Frobenius:也就是说若在复数域，以上的数列是收敛在 -1 02/23 20:19
72F：推 Frobenius:若在实数域，以上的数列在收敛范围 x=(-1±√5)/2 之外 02/23 20:22
73F：推 Frobenius:所以才会发散！以前也有得出此结果，真是令人惊讶@@ 02/23 20:24
74F：推 Frobenius:没想到在弦论之中的计算竟然是允许的 XD 02/23 20:26
75F：推 Frobenius:又 ㏑|x+1| = x - x^2/2 + x^3/3 - + - + … 02/23 20:44
76F：推 Frobenius:且 x/(1-x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + + + … 02/23 20:47
77F：推 gonghour:F大 用推文的不会太累吗 = = 02/23 21:31
78F：推 Frobenius:我有想过要直接回文，不过我想不到祂的物理意义XD 02/23 22:29
79F：推 Frobenius:觉得这样推得出来蛮屌的 + 让推文数增加易引起注意～ 02/23 22:31
80F：推 harry901:要给他爆吗? 02/23 22:36
81F：→ breedy:XD 感谢楼上 02/23 22:36
82F：推 Frobenius:照这样说那是不是假如有线性函数可以叠加成母函数，只要 02/23 23:05
83F：→ Frobenius:不是在奇点上，那麽在复数域中都收敛罗！？ 02/23 23:06