作者mantour (朱子)
看板Physics
標題Re: [問題] 熱力學 E = nCvT 用在任意過程?
時間Mon Jan 7 21:38:12 2008
※ 引述《oliver0159 (oliver)》之銘言：
: 為什麼 ΔE = nCvΔT 可用在任何過程???
: 課本證明
: 一開始假設
: 定容
: ΔQ = nCvΔT
: ΔE = Q - W 定容 W = 0
: = nCvΔT - W
: -------
: ΔE = nCvΔT (課本沒有直接這推啦...我覺得就算直接這樣推應該也沒關係~)
: -------
: Cv = ΔE / nΔT 又 ΔE = 3/2 RΔT
: 所以 Cv = 3/2R ==> ΔE = 3/2RΔT = CvΔT
: 但是在這推導過程中~
: 我們是假設定容過程
: 那 ΔE = nCvΔT 應該只適用在 定容過程吧???
只有理想氣體的ΔE = nCvΔT對所有過程都成立
這個推導基本上是鋸箭法，重點沒講出來，所以看起來才會怪怪的
這個推導的想法是這樣的：
首先用cv的定義：
cv = ΔE/nΔT (定容過程) (1)
又已知對理想氣體，ΔE = 3/2nRΔT 「對任意過程皆成立」 (2)
因此 cv = 3/2 R (3)
注意cv的定義是「定容過程的比熱」，在任意過程中，cv指的還是定容過程的比熱
和實際是什麼過程一點關係都沒有
所以(3)也是對任意過程成立
因為cv = 3/2R是個定值，所以把 它代到(2)中，(2)式還是對任意過程成立
就得到 ΔE = ncvΔT 對任意過程成立 ......(4)
這時(4)的成立條件已經跟(1)不一樣了，它只是把(2)中的3/2R換成cv，所以
適用的條件和(2)一樣，都是對任意過程成立
所以這個問題的真正重點應該擺在如何導出(2)，以及(2)的意函
簡單的說，(2)式表示了理想氣體的平均能量只跟溫度有關，和體積無關
而(2)的證明這邊沒有給出，書上應該找得到
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◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (01/07 21:39)
1F：推 oliver0159:但是Cv在定容過程才等於3/2R 代入(2)應該要增加條件吧 01/07 21:41
2F：推 theory:照原PO的說法的確有邏輯上的問題..不能把條件較寬鬆的假設 01/07 21:46
3F：→ theory:用在條件較嚴苛的式子上來證明兩者都是同樣寬鬆的條件 01/07 21:48
4F：推 oliver0159:瞭解了...因為ΔE為狀態函數..所以在任意情況 01/07 22:08
5F：→ oliver0159:可以先從Ei ==> Em ==> Ef Em選與i同V與f同T狀態@@ 01/07 22:09
6F：→ mantour:Cv是常數啊 怎麼有定容過程才等於 3/2R 的道理呢？ 01/07 22:48
7F：→ mantour:Cv 任何時候都等於 3/2R 01/07 22:48
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (01/07 23:04)
8F：→ mantour:修改一下，應該比較清楚 01/07 23:05
9F：→ chungweitw:理想氣體 和 單原子氣體 不一樣. 01/07 23:09
10F：→ chungweitw:這問題應該要在說明 U 對 V 的偏微分 = 0. 01/07 23:09
11F：→ chungweitw:使用 Maxwell's relation 和 van der Waals eq. 01/07 23:11
12F：→ mantour:我知道樓上的方法，但是我覺得原po只是想了解書上證法的意 01/07 23:11
13F：→ mantour:思 01/07 23:12
14F：→ mantour:不過這說明的確只對單原子適用 01/07 23:12
15F：推 chungweitw:問題是 "已知對理想氣體，ΔE = 3/2nRΔT" (單原子) 01/07 23:22
16F：→ oliver0159:我知道他是先用單原子證..至於使用Maxwell's relation 01/07 23:23
17F：→ chungweitw:就已經利用了 U 和 V 無關的事實 (理想氣體 ). 01/07 23:23
18F：→ oliver0159:完全不懂...課本上有...但是完全不是很懂... 01/07 23:23
19F：→ oliver0159:雖然事實是~注意cv的定義是「定容過程的比熱」，在任意 01/07 23:25
20F：→ oliver0159:過程中，cv指的還是定容過程的比熱和實際是什麼過程一 01/07 23:25
21F：→ chungweitw:我認為最初發問者提出的課本證明是是不必要的. 01/07 23:25
22F：→ oliver0159:都沒有 <==雖然是已經事實@@但是有點轉不過來 01/07 23:25
23F：推 oliver0159:感謝各位解答.....但是我還是先讀微積分好了.... 01/07 23:27
24F：→ oliver0159:在推文問個問題~entropy 越大..代表可能性越大? 01/07 23:28
25F：推 chungweitw:其實我是想說, 最初原po提的課本證明是 "不應該的". 01/07 23:28
26F：推 oliver0159:entropy 越大 代表達到越大亂度??? 01/07 23:31
27F：推 Farady:S=klnW. 微觀狀態數W越大就是代表機率越大意思,也就是S越大 01/07 23:48
28F：推 Farady:微觀狀態數W越大也同時有亂度大的意義 01/08 00:01
29F：推 oliver0159:感謝 01/08 00:07