※ 引述《takashin (lose yourself)》之銘言： : ※ 引述《[email protected] (風雨兼程)》之銘言： : : 翻譯一下: : : 通常我們限制在正交座標，也就是說　gij=0　，ｉ不等於ｊ : : 從最基本的內積定義著手， : : 如果你一開始選擇的是正交座標，垂直的兩個基底， : : 夾角餘弦一定是零，最後只會留下　i = j 的項　。 : 補充一下 : 這邊gij=(位置向量r對qi偏微分)內積(位置向量r對qj偏微分) : 我想我要弄清楚的大概是這兩個向量的物理意義 , 我想了一下 解釋如下 : 這向量r在qi方向的微小改變向量 與其在qj方向微小改變向量之內積為0 for i!=j : 若q為我們熟悉的卡氏座標 , 這句話我沒問題 就是你所說的那樣 : 若今天是非卡氏座標q : 若q正交 , 這兩個向量內積為零 for i!=j : 直接用直觀想像把在卡氏座標成立的(向量r在qi方向的微小改變向量 與另一個 : 垂直方向qj的微小改變向量內積為零) 在非卡氏座標也成立 : 我比較想看能不能夠有比較數學上的證明 gij就只是兩個基向量的內積..... 跟是不是微小向量無關.....(只是本書裡用微小向量來說明) : : 這裡用到的概念幾乎都是高中的向量即可， : : 因為它就是單純的討論歐氏空間，不必想得太複雜。 : : 如果你採用的是斜角座標，就不會有這種特性， : : 但是直角座標（以及其他正交座標），顯然形式上簡單多了。 : 我轉述一下他的hint: : { : 考慮一個三邊長為ds1, ds2 , ds3的三角形 : 式子(2.9)在不管gij=0 與否都成立 : 利用law of cosines計算 然後比較式子(2.5)的ds . : 證明 cos(theta12)=g12/根號(g11*g22) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^題目要你證明這條 : } : 式子(2.9)是 dsi=hi*dqi 向量r對qi偏微分=hi*(qi單位向量) ^^^^^^^^^^當你用了這條....那你就是採用正交座標了....所以不能用 : 式子(2.5)是 ds^2=summation(gij*dqi*dqj) over i,j : PS.hi^2=gii ^^^^^^^^^一樣不能用 這裡的證明,你只需要(2.5)和餘弦定律就夠了...(比較一下就能得出) 這題就是show給你看當向量ds1,ds2垂直時,g12是零 已就是說正交向量會使得度規張量的非對角線分量消失 --

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