※ 引述《skyrmion (meron)》之銘言： : ※ 引述《federal (federal)》之銘言： : To federal， 這裡的討論是理想化的情形，我想說的是如何對一個"單一" : 電子定義溫度，heat bath 是理論上的一個理想環境，透過他與單一電子 : 的交互作用來幫助其達到平衡。(嗯，很多統計或熱力的教科書都有說到這東西阿) ok, 理想情形完全同意 : 這裡你一定要說 (n+1/2)hw 是 phonon，並沒有任何根據， : 把一個電子放在 U=kx^2 的位能場裡面，請問他的 eigenstate 是甚麼 ? : 你用一個 Magnetic trap 去 confine cold atom，這個 atom 可以是 : fermion 也可以是 boson。它們的頻譜都是上述的簡諧振子的頻譜。 : to federal, 這你就真的錯了，首先 T=0 的 2D Heisenberg moel (AF)， : 在 square lattice 上呢，Neel state 真的是 ground state。 Neel state 是 Ising model 的 ground state. 但考量到 Sx*Sx, Sy*Sy Neel state 幾乎不太可能是 AF Heisenberg model之 eigen state. 在 Total Sz=0 時, state degeneracy 是最大. 正因為我們不知道 exact ground state 所以我們猜 Neel state(當然還有許多ground state的証明) 為計算某些 excitation(像 magnon)的出發點 所以, 你的意思是有人證明了 For 2D AF Heisenberg model on any bipartite lattices. H\psi=Eg\psi where \psi is the Neel state and Eg is the ground state energy. 這我就不知道. 這我特別好奇 可否稍微解釋一下 或是ˋ有paper說這件事嗎 : 這已經被證明了，它的 M 值也確實比 S 小，原因就是 quantum fluctuation。 : 小多少呢 ? 我想你應該知道怎麼算，我也不多說了。 : 但是，我想指出的是 M<S (S就是 saturation 的 M)，就是因為每個 magnon : 的 effective number = 1/2，然後他攜帶一定程度的 m。 : 最後的 M = S － (被這些 n=1/2 的 magnons 帶著的 m)。 : 你不能誤導其他版友，quantum fluctuation 是跟"數學"或"哪個理論"無關的。 Sure, 我那說的不太對, 其實只要是考慮到quantum effec對 classic situation 的影響都應該算是 quantum fluctuation. 我太把 quantum fluctuation 著重在 symmetry broke 角度上了. : 當溫度夠低時，thermal fluctuation 開始減弱，quantum 的擾動就會越來越顯著。 : Quantum fluctuation 的物理基礎是測不準原理，絕對不是甚麼數學的想像。 : Neel state 在某些 2D 晶格上倒是真的不是基態，像是 triangular lattice， : 其基態似乎就是 Phil Anderson 講的 RVB (Resonant Valence Bond)。 : 一般的看法反倒是，Neel State 在這些晶格上不是穩態的原因， : 就是被 Quantum fluctuation 給摧毀的。 : 另外，上述討論是真的都是 T=0 的基態，因為基於 Mermin-Wagner 定理， : 小於 3維 的系統，不會有 spontaneous 'continuous' symmetry breaking， : 所以 Neel state 甚至在有限溫度時，也不穩定，原因就是 thermal fluctuation : 太大。(但 Ising order 是 break 掉離散的 Z2 symmetry，所以是允許的)。 : 更有趣的一點是，在所謂的 frustrated antiferromagnet 中， : 因為 exchange interaction 無法同時被滿足，所以該系統有很多個 : classical ground state (都是Neel state)，出名的這類晶體包括 : 2D 的 Kagome 以及 3D 的 pyrochlore lattice。 : 這時候 quantum fluctuation 甚至可以幫你找到哪一個 Neel state : 會是基態，(at least in the large-S sense)，怎麼找呢 ? : 因為 magnon 的頻譜是跟你在哪個 Neel state 下去展開有關， : 所以你可以計算不同 Neel state 的 magnon 的總零點能: Σ hω/2， : 最小的那個，(很多時後不只一個)就是 ground state。 : 最後，我想指出，現在也很紅的 Quantum Phase Transistion (QCP)， : 就是發生在 T=0K, 由 quantum fluctuation 所導致的相變， : (跟有限溫度下，由 thermal fluctuation導致的相變類似)。 以上這段講的太好了!! : to federal: 你太過拘泥數學了吧，我當然知道那是 Bogoliubov particle 倒也不是我太拘泥 只是最近做到跟這有點關係(應該是太有關係 雖然在不同系統) 所以看到會特別注意 : 的 vacuum。但甚麼是 Bolgoliubov particle 呢 ? 是電子跟電洞的一個線性組合， : 所以我才說這個 ground state 很有趣，不同於 boson 的基態(所有的粒子都在 n=0)， : 也不同於簡併電子氣體或 Fermi liquid，超導的基態是由你說的 Bolgoliubov : vacuum 所定義，也就是 γ|Ω> = 0. (γ就是B-particle的消滅算符)， : 但是因為γ是電子電洞 operator 的線性組合，所以這樣定義出來的基態|Ω> : 就特別有趣，因為在這個基態裡，電子以一定的 pattern coherently : 繞著其他電子運動(just a picture)。而某個角度講，你也可以說這個基態 : 有一個 cooper pair 的 condensate。最簡單的原因是下列算子的基態平均 : 不為零: <c*c>≠0 (c是電子的消滅算符。) : 另外你說是 cooper pair 基態，也沒錯，因為 cooper pair 是 qausi-boson， : 它是可以 condensate 的。但重點是在這個 condensate 裡的電子們運動的圖像。 : 才是我想要強調的地方。 同意 看來是我誤會你的意思 我以為你再說的是 電子的消滅算符的 ground state : Laughlin state 跟 numerical exact diagonalization : 的重疊接近 99.9%，Robert Laughlin 也因此拿了諾貝爾獎， : 這個 Ground state,跟超導類似， 電子也是以一定的 pattern : 互相避開對方。 : 另外，composite electron 不是攜帶 spin-1/2 的 flux.... : 是 每個電子攜帶 3 的基本 flux quanta。 我只稍稍看過 沒做過類似東西 多謝糾正 : 好吧，那我也簡單解釋一下 Fermi liquid 好了，其實這個倒是一個 : 凝聚態裡挺 universal 的現象。以致於現在凝聚態的人老是想要做出 : 東西是 beyond fermi liquid paradigm。 : 我不太懂你所謂純電子基態是甚麼意思，但是 Fermi liquid 的基態， : 電子倒是不完全都在 Fermi surface 下沒錯。有些電子是因為交互作用 : 跑到費米面外了。但也不是 random 的跑到外面去(不過也沒有超導 : 子霍爾流體那麼 coherent 就是)。Fermi liquid 的基態可以說是 : Landau 的 quasi-particle 通通填到對應的 Fermi surface 的一個態。 : 至於甚麼是 Landau 的 quasi-particle 呢 ? : 大約如下:(對某個動量 k) : |q-particle> = Z |e-particle > + (a bunch of e-h pairs). : 後者是所謂的 incoherent part。前者是 coherent 的 "single particle" : contribution。只要 Z≠0，Fermi liquid 的描述就還是正確的， : Z=0，對應到這個理論的 break down。 看來我過短的回應 完全沒有講到 Fermi liquid 重點 還讓你誤解(應該也讓其他人誤解) 真不好意思 : 這是廢話，系統一定是在基態! : 但這裡要討論的是， : 這些系統基態裡的電子分布是如何 ? 我個人覺得是挺有趣的， : 起碼跟簡單的 free boson比起來 (所有的 boson 都跑到n=0)。 : 對費米系統而言就不一定是這樣了。 沒錯 基態電子分佈 和 Fermi surface topology 相當有趣 你是做這個的嗎? 我希望我做的下個題目也能和這有關. By the way, 有史以來在物理版看到跟凝態相關最好的文. --

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