作者chungweitw (我們不讀書的..)
看板Physics
標題Re: 如何證明座標外積公式符合右手定則
時間Sat May 5 15:08:49 2007
我不知道我是否有誤解原發問者的意思..
他似乎是能接受這是定義.
所以...
" 例如 採用 (1,0,0)x(0,1,0)=(0,0,1) 符合右手定則,etc...
則為何任意向量的外積符合右手定則? "
這似乎是發問者的問題
而他似乎也認同如果 C = A X B 滿足右手定則,
MC = M (AXB)
C' = (MA) X (MB),
若 C' = MC, 則 MA, MB, 和 C' 之間也滿足右手定則..
( 其中 M 為轉動矩陣 )
如果我沒誤解的話,
以下是我的想法
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各個向量各經過同一個轉動矩陣轉動, 之間的角度關係並不會改變..
這是幾何性質..所以這問題就所以上關係必然正確. 結束:p
如果不滿意...其實可以稍微 "驗證" 如下(其實不是那麼必要):
我用 Einstein summation convention..
e : Levi-Civita antisymmetric symbol
d : Kronecker delta
_i : 代表向量的第 i 個分量
這邊只考慮 proper rotation..所以不改變他的 handness..
C_i = (AxB)_i = e_ijk * A_j * B_k
經過 M 轉動後...
C'_p
= M_pi * C_i
= M_pi * ( e_ijk * A_j * B_k )
= M_pi * ( M_li * M_mj * M_nk * e_lmn ) * A_j * B_k
= d_pl * M_mj * M_nk * e_lmn * A_j * B_k
= e_pmn * ( M_mj * A_j ) * ( M_nk * B_k)
= (MA x MB)_p
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◆ From: 128.227.7.107
1F：→ chungweitw:= M_pi * C_i 之前這等號要打問號..到最後一步, 這問號 05/05 15:31
2F：→ chungweitw:就消失無蹤了 05/05 15:32
3F：→ mathfeel:如果你對他問題的理解是正确的，那答案不就是因為cross 05/05 16:21
4F：→ mathfeel:是bilinear? 05/05 16:22
5F：→ chungweitw:就我理解,bilinear 只是在說(gA)XB=g(AXB)=AX(gB) 吧. 05/06 04:26
6F：推 bisconect:嗯,我想要證明的就是MC=(MA)x(MB)! 你抓到我的意思了XD 05/07 15:19
7F：推 bisconect:講得更清楚一點 M(AxB)=(MA)x(MB) 05/07 15:28
8F：→ bisconect:可是你最後一段開始驗證的地方老實說我看不懂orz 05/07 15:31
9F：→ bisconect:因為你提到的那幾個專有名詞我都沒有接觸過 05/07 15:32
10F：→ bisconect:而且我也沒有接觸過三維的轉動矩陣orz 我要研究一下... 05/07 15:33