※ 引述《bisconect (隨便你叫)》之銘言： : ※ [本文轉錄自 Math 看板] : 作者: bisconect (隨便你叫) 看板: Math : 標題: 請問要怎麼證明座標外積公式算出來的結果必符合右手定則? : 時間: Tue May 1 00:39:08 2007 : 當向量座標化時,有個方便的公式可以讓我們快速算出兩個向量的外積: : 若 A = < Xa,Ya,Za > , B = < Xb,Yb,Zb > , 則 : A x B = < Ya*Zb-Yb*Za , Za*Xb-Zb*Xa , Xa*Yb-Xb*Ya > : A x B 具有以下性質: : 1.垂直A和B : 這點只要把 (A x B) 和 A,B 各內積一下就可以輕易證出. : 2.|A x B| = |A|*|B|*sinθ , θ為AB夾角 : 這點的證明也不算太困難,我就不寫了XD : 3. A x B 的方向可由右手定則決定 : 這點的問題可就大了!!我高中時嘗試證了好幾個禮拜還是失敗 囧 : 我曾經po過某討論區問這問題,可是大家的回答都是: : "外積的方向由右手定則決定是人為規定的!" : 的確,在一種定義方式中,我們直接定義外積必須符合右手定則.可是用座標公式來定義外積 : 是另一種獨立自成的定義方法,而兩種方法殊途同歸.至於它們為何會殊途同歸呢?這絕對就 : 是必須證明的事情了! : 如上我列出了第一種定義方式(直接定義外積向量的長度和方向)中提及的各項規定性質,並 : 且分別證明了第二種定義方式(座標外積公式)也會有一樣的結果,只差第三項我不知從何著 : 手...... : 雖然我沒有證明出座標外積公式永遠都會符合右手定則,但是目前為止我還沒有見過反例, : 也沒有聽人說過用該公式運算出外積向量以後還要檢查一下它有沒有符合右手定則的,可見 : 大家都假設它"自然會符合右手定則".那麼,我們要怎麼證明這個假設呢?這就是我的問題. : 有請數學達人開示,謝謝! : (希望這次不會再有人回答我說"這是規定的"了 囧 那我真的不知道該怎麼解釋了......) 當你用<ay bz - az by, az bx - ax bz,ax by - ay bx>的時候，右手定律已經被你假設了。 因為你要用這個公式，x,y,z方向就必需有以下的關系： z = cross(x,y)，x = cross(z,y)，y = cross(z,x) 這個時候你就要決定你到底要用左手還是右手來做cross(,) 例如如果x是向東，y是向北。 如果你要用右手定律z就向上；如果你要用左手定律z就向下 所以用左手還是用右手是在乎于選擇的座標是左手座標還是右手座標 為甚麼用右手的座標系統？習慣。 這都不重要。我的看法是c=cross(a,b)根本就不是一個向量。 想一下如果a,b是高于三維的向量，c要怎麼定義？ 答案是c是一個反對稱的張量。 -- pub 2048R/9CB5B35A 2/20/2006 Matthew Zhang (gmail key) <[email protected]> Primary key fingerprint: 9607 7903 1D12 F060 AD76 3705 5CE2 0A3E 9CB5 B35A --

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