[(▽^2)+k^2]U(r)=0, 此處的 ▽^2 = (d^2)/dx^2 + (d^2)/dy^2 + (d^2)/dz^2 定義 ▽t^2 = (d^2)/dx^2 +(d^2)/dy^2 [(▽^2)+k^2] * U(r) = 0 => [(▽^2)+k^2] * A(r)exp(-ikz) = 0 => [ ▽t^2 + (d^2)/dz^2 + k^2 ] * A(r)exp(-ikz) = 0 => ▽t^2 * A(r)exp(-ikz) + k^2 * A(r)exp(-ikz) + (d^2)/dz^2 * A(r)exp(-ikz) = 0 見註1 ▽t^2 * A(r)exp(-ikz) + k^2 * A(r)exp(-ikz) + { -i2k * dA/dz + d^2/dz^2 - k^2 * A } * exp(-ikz) <----------------| = 0 | | ▽t^2 * A(r) + k^2 * A(r) - i2k * dA/dz + d^2/dz^2 * A - k^2 * A = 0 | | ▽t^2 * A(r) - i2k * dA/dz + d^2/dz^2 * A = 0 | | (對不起 我只會算數學..d^2/dz^2項 消不掉..Orz) | | | | 註1 | | d/dz * A(r)exp(-ikz) = exp(-ikz) * dA/dz + A * (-ik) * exp(-ikz) | | (d^2)/dz^2 * A(r)exp(-ikz) | = d/dz [d/dz * A(r)exp(-ikz)] | = (-ik) * exp(-ikz) * dA/dz + exp(-ikz) * (d^2)/dz^2 + | dA/dz * (-ik) * exp(-ikz) + A * (-ik) * (-ik) * exp(-ikz) | = { -i2k * dA/dz + d^2/dz^2 * A - k^2 * A } * exp(-ikz) -------------| ※ 引述《bigbvd2001 (重新開始)》之銘言： : 小弟有疑惑的地方是在 : Paraxial Helmholtz equation : (▽^2)A-i2k(dA/dz)=0 : (附註:(dA/dz)是A對z偏微分，此處的▽=(d^2)/dx^2 +(d^2)/dy^2) : 課本上說導証的方法是利用paraxial wave:U(r)=A(r)exp(-ikz) : 將其帶入Helmholtz equation :[(▽^2)+k^2]U(r)=0 : 並藉由(dA/dz)<<kA 以及 [(d^2)A]/dz^2 <<k^A : 可以得到Paraxial Helmholtz equation : 可是我怎麼算都只能求得(▽^2)A+2(k^2)A=0 : 麻煩各位幫忙解惑，感激不盡!! -- 你是風兒我是沙, 你是哈密我是瓜, 你是牙膏我是刷, 你不愛我我自殺. 我有一首無名詩, 走遍天下無人知, 只有笨蛋和我知, 笨蛋正在看此詩 --

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