※ 引述《AyeTemplar (桐思呢喃)》之銘言：※ 引述《mathfeel (mathfeel)》之銘言： : ※ 引述《biohazard4 (william birkin)》之銘言： 先感謝~AyeTemplar mathfeel covari 三位大大的回文解釋 也經過幾天參考了各位的意見後與詢問學長 而再今天詢問教授後解決了我的大部分的困惑 1.AyeTemplar 大大說得很對 詢問的學長有用量子力學方式導出來給我看 也發現有許多混淆的地方 + 2.這是我當初想導出 A = A 的式子 再A為厄密算符下 教授指出我導的式子裡出現了錯誤 *^ * ^ * *^* *^+ *^ (∫φAφdx) = ∫(Aφ)φdx = ∫φAφdx = ∫φAφdx =∫φAφdx ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 這兩個步驟不相等 因為算符式作用在需作用再函數上才有意義 所以不能取*再算符上 而 * + ∫(Aφ)φdx =∫φAφdx 為定義不能推導 所以我的多那一步驟導致了+ = *產生 3.之前說到曾僅言的量子力學導論 有打出 + = * 而教授說那應該是排版錯誤 所以也就沒有爭議了 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 所以算符是比較抽象的 不過可以找出以矩陣表示 但算符不等於矩陣 所以算符只是告訴我們如何對跟在她後面的量去做運算 再運算過程中沒有改變 是我得到的結論 不知是否正確 不過很多還是需要再努力搞清楚 若覺得有奇怪的地方歡迎大家再提出來討論 : : 有依些基本觀念還不是很清楚 : : 想請問 : : 1. 厄密算符是不是與厄密矩陣一樣 : : 只是算符用矩陣形式表達 : : ^ ^+ ^+ ^* : : 2.厄密算符 A = A 而 A = A 只有以對角線對稱下才成立 : : *^ * ^ * *^* *^+ *^ : : (∫φAφdx) = ∫(Aφ)φdx = ∫φAφdx = ∫φAφdx =∫φAφdx : : 證明為real : : ^* ^+ ^ : : 在最後三步驟裡 A = A = A : : 讓我覺得很奇怪 所有的算符 取* 會等於自己嗎 : : 因為動量算符取*就改變了 : : 所以有點矛盾 : : 不知有無算錯 : : 請教大家一下 : ∫f (d/dx) g dx = f * g (@b) - ∫(df/dx)g dx : f跟g都是平方可積，所以等號右邊第一項等于0。 : 就是說運算符d/dx 是skew-symmetric：t(d/dx) = -d/dx。 : t 是 transpose的意思。 : 所以前面加個-i(或i)才是Hermitian: : hc(-i d/dx)=t*(-i d/dx)=t(id/dx)=(-id/dx) : (hc=Hermitian conjugate) : 你發現了一個很好的問題 : 首先，Hermitian operator 確實是以 Hermitian matrix 來表示 : 這可以在線性代數和一些量子力學的書中找到 : 而且，你所舉的例子 B 也是個 Hermitian matrix，只是B* =\= B : 我之前讀的時候，書中語意上都說： : "The Hermitian adjoint of an operator is generally not : equal to its complex conjugate" : 而你亦找出最常見的例子：momentum operator : 那問題是出在哪裡？ : 問題是出在於寫式子時因混用 dagger 與 complex conjugate 所造成誤會與誤用 : 舉例： : + + + + : <β|A|α> = <β|．(A|α>) = [(<α|A )．|β>] = <α|A|β> ; if A = A : 而書上都直接寫 * (complex conjugate) 而不是 + (dagger) : 若以式子來看，寫成 complex conjugate 是不嚴謹的， : 因為 operator、bra、ket 都沒有轉置 : 而這個式子勉強可以成立的原因是 : 當我們求一個 operator 在 basis {|Ψ>} 中的 matrix element 時 : <Ψm|A|Ψn> = <Ψn|A|Ψm>* = Amn*．δnm (δnm = δmn = 1 or 0 ) : 是指單一一個 matrix element Amn 而言 : 亦即我們只是利用這個式子來求出矩陣元素的值 : 而它們的位置是靠 δnm 來判斷 : 故以上式來計算單一矩陣元素時，不需使用到轉置 : 　　　　　 : 我想大部分人可能是因為受到書上 <β|A|α> = <α|A|β>* 這個式子所混淆 : + * : 加上許多 operator 確實存在 A = A 這個特性 : 所以普遍以為對 operator 而言，Hermitain adjoint = complex comjugate : 結論： : １．Hermitian operator 是以 Hermitian matrix 來表示，即使不在 eigenbasis 中 : ２．對 operator 而言，Hermitian "不一定等於" complex comjugate --

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