看到板上吵了那麼久，覺得有點煩 趁現在發懶不想做事時，寫一寫我的想法好了 ---------- 所謂數學証明，在十九世紀末二十世紀初的一場轟轟烈烈的蛙鼠大戰後 幾乎算是已經定案下來了 從數學邏輯的角度觀之，所謂的 "証明"，幾乎都是在反覆重覆以下的步驟： "給定前題，假設前題成立的話，我們可以証明什麼什麼也必須成立" 換句話說，一個 "合理的証明"，主要是看証明的過程，是否出現邏輯漏洞 在十九世紀末二十世紀那段時間數理邏輯學的發展 所有的數學証明，都可以完全翻譯成全由邏輯符號表達 且符號排列完全符合一套數理邏輯的機械規則 （換句話說，你可以寫程式，檢驗証明過程是否符合邏輯） 數理邏輯並不在意你所使用的 "前題" 倒底是什麼 到底前題合不合用，符不符合實際狀況，那是另一個層次的問題 你隨時隨地可以根據自己的需求，打造一個自己使用的 "前題" -------------------- 以近代數學來說，整個理論建築是架構在少數的幾個前提下 這有一個專有術語，叫做 "公設系統" 我們不証明這些公設是對是錯，它們是由我們所 "感受" 的 我們只說，假設這些公設是對的，那麼由這些公設所推導出來的理論也是對的 當然，我們並不須完全依循這些公設 事實上，如果有必要，每個人都可以自行弄出一套自己的公設系統 （當然，公設系統有所謂一致性與完備性的問題） 在歷史上，這件事也時常發生 例如 Lobachevskii 與 Bolyai 的非歐幾何，就是弄出另一套公設系統 （不同的公理系統有時可以互相對應，這種高等的技巧屬模型論的範圍 我就不再繼續深入探討） -------------------- 我們目前經常看到所謂的 "數學証明" 為何就直接講這是對的這是錯的？ 對錯不是要看所採用的公設系統嗎？ 這句話說得沒錯，所謂 "對" "錯" 全都要看你的公設系統為何 不過，數學在長時間發展下來，幾乎所有數學家所使用的公設系統都幾乎相同 當你開口與另一位數學家交談，或是筆談，或者發表論文時 除非特別說明，不然大家都是以彼此心中默認的那個公設系統為基礎 這樣，就不難理解數學家口中的 "對" "錯" 倒底代表什麼涵義 -------------------- 相較於數學，物理也有所謂的公設系統 只不過，物理的公設系統限制條件有點嚴格 數學的公設系統可以非常天馬行空自由自在 但，物理的公設系統就不允許你隨便亂玩 簡單一句，就是物理的公設系統必須滿足自然界的現實 就拿以太與狹義相對論比較 你可以以以太為公設，推導出完全符合邏輯的以太電磁學 你也可以以光速恆定為公設，推導出完全符合邏輯的相對論電磁學 而這兩種電磁學的取捨，則是取決於何者能符合實驗觀測 因為有實驗，有觀測，所以，我們就多了一些篩選所謂 "對" "錯" 的準則 假設你所使用的公設是對的，那麼，無論是公設本身 還是由公設出發所作的所有邏輯推導，無一不漏全部都要符合實驗觀測 在這之中，其中只要有一項與實驗觀測不符，那麼，這個公設就是錯的 因為你使用公設 P，你由數理邏輯推導可得到 P => Q 但由於實驗觀測，發現 Q 不成立，由於 not Q => not P（與 P => Q 邏輯等同） 換句話說，P 也不成立 這個相當常見的邏輯等式－－反証法 其實主宰了很多物理理論的發展，這是用來把不合格物理理論踢掉的工具 舉個例子，現在的物理理論都以是光速恆定為公設 但我們可以由光速恆定一事，推導出恆定的精密結構常數（約 1/137） 如果我們觀察到精密結構常數並非恆定，那麼光速恆定的公設也就是不正確的 這件事在一兩年前的天文觀測有發生過，板上也有很多人討論此事 不過這件事的下文我就不清楚了（証據還不夠充分） 如果，我們有足夠的証據，精密結構常數並非定值的話 那所引起的理論大地震是可想而知的 另一個例子，就是前一陣子在板上炒得很熱的 B-meson CP-violation 因為它開啟了一個將 QCD 翻掉的可能性 -------------------- 那我們要怎麼確認一個物理公設是否正確？ 答案是，沒有辦法，沒錯，就是如此悲觀 因為，我們今天只能利用邏輯的反証法，一一把不合格的物理理論踢掉 今天某一物理公設還存在於教科書中，並不是因為它是正確的 而是，我們目前仍未找到實驗觀測上的証據，把這個理論踢出去 我們能保証這條物理公設，在二十年後不被某次的實驗觀測踢屁股嗎？ 連光速恆定一事，都很有機會被踢屁股了～～～～ 也就是說，這些還留在教科書中的物理公設 其實是在眾多的淘汰者裡頭，苟延殘喘地留下來 而且，隨時隨地都有可能在未來的某次實驗被踢出去 比如，主宰了數百年的牛頓力學， 它說明行星繞太陽的軌道一定是不偏不倚地橢圓（忽略其它行星引力的擾動） 但真實的天文觀測，卻發現水星的進日點有 "進動" 的現像 換句話說，水星繞日一周，並不會形成一個封閉的橢圓 且它進動的程度遠大於其它行星引力擾動的影響 當然，後來知道，水星軌道的進動其實是受了太陽引力場的廣義相對論效應影響 我們可以藉由此次觀測，說明牛頓力學並非完全正確的 它只適用於在一些場合的近似罷了 在物理上，我們永遠都不說什麼什麼是對的 我們只說，什麼什麼比較適用 因為，你永遠無法証明某某物理公設一定永遠正確無誤 換句話說，合用的物理公設系統，是會隨著時間而改變的 以極端的觀點來看，在物理上，並沒有所謂的 "証明" 你所有的，只是一次又一次利用實驗觀測 "反証" -------------------- 其實，數理邏輯的推導，放到物理上來看，會變得相當多釆多姿 最佳的例子其實就是量子電動力學的發展 量子電動力學也有它的公設系統（就是那些 commutator，或 propagator 之類的） 以這些東西為出發點，我們當然可以推導出許多東西來 只不過推導過程比較好玩，從純數學的角度來看 當初在發展時，所使用的推導過程並不怎麼合邏輯 這些有關無窮大重整化的技巧，在許多人眼中看起來就很髒 這一點其實有其歷史因素存在 因為，在當時的環境，所能使用的數學工具遠遠不足 但是物理學家等不及數學家慢慢把這些數學工具磨出來 所以就自己想辦法搞出自己一套還還是勉強可用 但看起來就是不合邏輯的數學工具 物理學家自己當然知道這種狀況，但是，在當時除此之外也沒有其它方法 事實上，這件事情則是等到重整化群的發展 漸漸地將原本很髒的東西邏輯合理化 其實，場論的發展，也帶來很多數學研究題材 事實上，甚至物理學家 Witten 都可以因此拿到 Fields Medal -- 世界盃賽後日韓聯合記者會： 日:我們拿到第四名比你們第六名好 韓:今年亞洲盃我們亞軍比你們季軍好 日:我們只被陳金鋒打兩支安打，你們四支 韓:我們只被陳金鋒打一支全壘打，你們兩支 日:我們只被張誌家5K，你們被12K 韓:我們打出六支安打，你們只有五支 日:我們只被中華隊得三分，你們被得五分 韓:我們從張誌家手中得一分，你們被完封 -- ※ Origin: 臺大電機 Maxwell 站 ◆ From: 61.230.0.157