看到板上吵了那麽久，觉得有点烦 趁现在发懒不想做事时，写一写我的想法好了 ---------- 所谓数学证明，在十九世纪末二十世纪初的一场轰轰烈烈的蛙鼠大战後 几乎算是已经定案下来了 从数学逻辑的角度观之，所谓的 "证明"，几乎都是在反覆重覆以下的步骤： "给定前题，假设前题成立的话，我们可以证明什麽什麽也必须成立" 换句话说，一个 "合理的证明"，主要是看证明的过程，是否出现逻辑漏洞 在十九世纪末二十世纪那段时间数理逻辑学的发展 所有的数学证明，都可以完全翻译成全由逻辑符号表达 且符号排列完全符合一套数理逻辑的机械规则 （换句话说，你可以写程式，检验证明过程是否符合逻辑） 数理逻辑并不在意你所使用的 "前题" 倒底是什麽 到底前题合不合用，符不符合实际状况，那是另一个层次的问题 你随时随地可以根据自己的需求，打造一个自己使用的 "前题" -------------------- 以近代数学来说，整个理论建筑是架构在少数的几个前提下 这有一个专有术语，叫做 "公设系统" 我们不证明这些公设是对是错，它们是由我们所 "感受" 的 我们只说，假设这些公设是对的，那麽由这些公设所推导出来的理论也是对的 当然，我们并不须完全依循这些公设 事实上，如果有必要，每个人都可以自行弄出一套自己的公设系统 （当然，公设系统有所谓一致性与完备性的问题） 在历史上，这件事也时常发生 例如 Lobachevskii 与 Bolyai 的非欧几何，就是弄出另一套公设系统 （不同的公理系统有时可以互相对应，这种高等的技巧属模型论的范围 我就不再继续深入探讨） -------------------- 我们目前经常看到所谓的 "数学证明" 为何就直接讲这是对的这是错的？ 对错不是要看所采用的公设系统吗？ 这句话说得没错，所谓 "对" "错" 全都要看你的公设系统为何 不过，数学在长时间发展下来，几乎所有数学家所使用的公设系统都几乎相同 当你开口与另一位数学家交谈，或是笔谈，或者发表论文时 除非特别说明，不然大家都是以彼此心中默认的那个公设系统为基础 这样，就不难理解数学家口中的 "对" "错" 倒底代表什麽涵义 -------------------- 相较於数学，物理也有所谓的公设系统 只不过，物理的公设系统限制条件有点严格 数学的公设系统可以非常天马行空自由自在 但，物理的公设系统就不允许你随便乱玩 简单一句，就是物理的公设系统必须满足自然界的现实 就拿以太与狭义相对论比较 你可以以以太为公设，推导出完全符合逻辑的以太电磁学 你也可以以光速恒定为公设，推导出完全符合逻辑的相对论电磁学 而这两种电磁学的取舍，则是取决於何者能符合实验观测 因为有实验，有观测，所以，我们就多了一些筛选所谓 "对" "错" 的准则 假设你所使用的公设是对的，那麽，无论是公设本身 还是由公设出发所作的所有逻辑推导，无一不漏全部都要符合实验观测 在这之中，其中只要有一项与实验观测不符，那麽，这个公设就是错的 因为你使用公设 P，你由数理逻辑推导可得到 P => Q 但由於实验观测，发现 Q 不成立，由於 not Q => not P（与 P => Q 逻辑等同） 换句话说，P 也不成立 这个相当常见的逻辑等式－－反证法 其实主宰了很多物理理论的发展，这是用来把不合格物理理论踢掉的工具 举个例子，现在的物理理论都以是光速恒定为公设 但我们可以由光速恒定一事，推导出恒定的精密结构常数（约 1/137） 如果我们观察到精密结构常数并非恒定，那麽光速恒定的公设也就是不正确的 这件事在一两年前的天文观测有发生过，板上也有很多人讨论此事 不过这件事的下文我就不清楚了（证据还不够充分） 如果，我们有足够的证据，精密结构常数并非定值的话 那所引起的理论大地震是可想而知的 另一个例子，就是前一阵子在板上炒得很热的 B-meson CP-violation 因为它开启了一个将 QCD 翻掉的可能性 -------------------- 那我们要怎麽确认一个物理公设是否正确？ 答案是，没有办法，没错，就是如此悲观 因为，我们今天只能利用逻辑的反证法，一一把不合格的物理理论踢掉 今天某一物理公设还存在於教科书中，并不是因为它是正确的 而是，我们目前仍未找到实验观测上的证据，把这个理论踢出去 我们能保证这条物理公设，在二十年後不被某次的实验观测踢屁股吗？ 连光速恒定一事，都很有机会被踢屁股了～～～～ 也就是说，这些还留在教科书中的物理公设 其实是在众多的淘汰者里头，苟延残喘地留下来 而且，随时随地都有可能在未来的某次实验被踢出去 比如，主宰了数百年的牛顿力学， 它说明行星绕太阳的轨道一定是不偏不倚地椭圆（忽略其它行星引力的扰动） 但真实的天文观测，却发现水星的进日点有 "进动" 的现像 换句话说，水星绕日一周，并不会形成一个封闭的椭圆 且它进动的程度远大於其它行星引力扰动的影响 当然，後来知道，水星轨道的进动其实是受了太阳引力场的广义相对论效应影响 我们可以藉由此次观测，说明牛顿力学并非完全正确的 它只适用於在一些场合的近似罢了 在物理上，我们永远都不说什麽什麽是对的 我们只说，什麽什麽比较适用 因为，你永远无法证明某某物理公设一定永远正确无误 换句话说，合用的物理公设系统，是会随着时间而改变的 以极端的观点来看，在物理上，并没有所谓的 "证明" 你所有的，只是一次又一次利用实验观测 "反证" -------------------- 其实，数理逻辑的推导，放到物理上来看，会变得相当多釆多姿 最佳的例子其实就是量子电动力学的发展 量子电动力学也有它的公设系统（就是那些 commutator，或 propagator 之类的） 以这些东西为出发点，我们当然可以推导出许多东西来 只不过推导过程比较好玩，从纯数学的角度来看 当初在发展时，所使用的推导过程并不怎麽合逻辑 这些有关无穷大重整化的技巧，在许多人眼中看起来就很脏 这一点其实有其历史因素存在 因为，在当时的环境，所能使用的数学工具远远不足 但是物理学家等不及数学家慢慢把这些数学工具磨出来 所以就自己想办法搞出自己一套还还是勉强可用 但看起来就是不合逻辑的数学工具 物理学家自己当然知道这种状况，但是，在当时除此之外也没有其它方法 事实上，这件事情则是等到重整化群的发展 渐渐地将原本很脏的东西逻辑合理化 其实，场论的发展，也带来很多数学研究题材 事实上，甚至物理学家 Witten 都可以因此拿到 Fields Medal -- 世界盃赛後日韩联合记者会： 日:我们拿到第四名比你们第六名好 韩:今年亚洲盃我们亚军比你们季军好 日:我们只被陈金锋打两支安打，你们四支 韩:我们只被陈金锋打一支全垒打，你们两支 日:我们只被张志家5K，你们被12K 韩:我们打出六支安打，你们只有五支 日:我们只被中华队得三分，你们被得五分 韩:我们从张志家手中得一分，你们被完封 -- ※ Origin: 台大电机 Maxwell 站 ◆ From: 61.230.0.157