※ 引述《[email protected] (kuso 煙酒生)》之銘言： : ※ 引述《[email protected] (學物理ㄉ小小孩)》之銘言： : : 我們老師就有教...那時候我還特地去翻微積分的書來看 : 那種 "証明" 看看就好 : 光光要處理角動量守衡這件事，就夠你玩了 : 很多東西遠遠超過高中生可以處理的能力 : ----------- : 行星運行軌道方程，只有在反比平方力下才可能出現漂亮的圓椎曲線 : 如果不是在空間不是三維的，而是其它維度 : 你求出來的軌道方程......嗯，一般的高中生，看到不要傻眼就很好了 : 當引力正比於 r^-1.99 或 r^-2.01，問題會變得很難處理 : 而當引力剛剛好正比於 r^-2 時，過程中你才有簡化的空間 : 才能得到漂亮的圓椎曲線 : 之後才有科卜勒定律 : 要知道並運用這些技巧，並不只是高中課本所說的那些而已 : 事實上，物理系大二必修課：力學 : 在處理同一個問題時，裡頭技巧性的東西，已經讓很多科班生一個頭兩個大了 恩...沒錯.... 我本來是想回po有關這部分的東西嚇嚇其他人...~"~ 可是我一邊參考資料一邊po的時候 又覺得好麻煩 麻煩到自己真的是嚇到了(還沒嚇到別人先嚇到自己~"~) 於是乎 我就這樣文章po了又刪，po了又放棄 這次,...我認真了...想被嚇的人 請繼續往下看 ps..對'符號'，'微積分'，'證明串'，"英文"，等有恐懼的人千萬不要往下翻頁了 ps..以下的討論並非正規動力學課程的範圍之內，而是編排在進階動力學的範圍。 ps..有高血壓以及心臟病的人，也千萬不要繼續往下看了....否則後果自負 為了方便起見，有些可以明瞭的我就用英文帶過... (0)以下為證明衛星(或質點)環繞行星(或定點)時，其受到中心力(central-force)運動 所影響的軌道方程證明。 就是說明newton's law and kepler's law之應用，之如 何衍生出其他更多的'證明'與'定律'，不探討如何'證明'這兩者。 (1)一個質點受到一個向某定點方向直線的力量而作運動，稱為中心力運動(central- force motion)。 而中心力通常是由於電場或重力場所引起。 為了考慮這個質點P，m質量，以及受力F，我們必須定義一個好用 的座標系統，所以使用r，θ極座標來表示。其運動狀態如下圖: ↖切線方向 軌道 ╲ ￣￣￣/╲ / ╲◎質點P /dθ↙﹨ / ／ F \ / ／θ 其中質點到定點之距離定義為r ⊙定點----------------------------- Sigma Fr=-F=m*ar where ar=r方向之加速度 =m*[r''-r(θ')^2] 說明:Fr代表整個系統在此時，r方向之受力，由於質點與定點的關係，所以定義r的 方向為往外為'正'，故這時中心力(向心力)=-F=m*ar (牛二定律)!!! 你看看...牛二定律出來了.....牛二給他出來了..... 至於ar為什麼會=[r''-r(θ')^2] 如果不知道r''是什麼東西的人..也不用往下看了..因為是微分式~"~ 也就是為什麼高中課程簡化有些'證明'的原因... 如果你是高中生...有興趣的話...來...我解釋一下好了 這個r就類似相對於直線運動裡面的S，以前學過S(t)=V0t+0.5a*t^2 然後S(t)'=V0+at=V(t) S(t)''=V'(t)=a=a(t).....恩...如果這邊看得懂我的解釋的話 繼續往下看 看不懂得同學就很抱歉了，這是理組同學才會學到的概念 所以說這個r就類似r(t)，r(t)'就類似v(t)'，r(t)''=v(t)'=a(t) 至於這個θ，也就是角度，聰明的人大概可以知道θ''會變成角加速度 所以θ'=角宿度，還記得有個公式mrw^2...對...跟這個很類似 還是不行的話..強迫ar=[r''-r(θ')^2]....不然往下就真的不知道怎麼講下去了 要不然不要繼續看下去，否則會內傷 Sigma Fθ=0=m*aθ=m(rθ''+2r'θ') 說明:看不懂的話..我也無能為力了... (2)這時我們可以得到兩個式子 -F==m*[r''-r(θ')^2] 0==m(rθ''+2r'θ') 為了方便解聯立微分方程，必須將簡化之微分式做繁式，也就是將時間條件還原 可以得到新的兩條式子 ╓ (d^2)r dθ ╕ -F==m║ -------- - r(-----)^2 ║=======>(a)式 ╙ dt^2 dt ╜ ╓ (d^2)θ dr dθ ╕ 0==m║ r------- + 2---- ---- ║=======>(b)式 ╙ dt^2 dt dt ╜ 由於(b)式中m=\=0，所以裡面那一陀要==0 ╓ (d^2)θ dr dθ ╕ 1 ╓ (d^2)θ 2r*dr dθ ╕ ║ r------- + 2---- ---- ║=0= ---║r^2------- + ---- ---- ║ ╙ dt^2 dt dt ╜ r ╙ dt^2 dt dt ╜ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ f*g' + f'g =(fg)' 可見得f=r^2，g=dθ/dt 1 ╓ ╕ 1 ╓ dθ ╕' 1 d ╓ dθ ╕ 所以(b)式== ---║(fg)' ║ == ---║ r^2*----- ║ ==--- ----║ r^2*----- ║==0 r ╙ ╜ r ╙ dt ╜ r dt ╙ dt ╜ 光是這個步驟我一輩子也不可能想得出來..~"~ 此時，由(b)式最後衍生出來的微分式將其積分 可得r^2*(dθ/dt)=h where h is a constant. (3)現在再將剛剛那個簡圖思考一下，根據kepler's law可得 dA=0.5r^2*dθ 微小單位面積的計算在此應該不難懂，所以不多說... 將上式除以時間因素可得 dA/dt=0.5r^2*(dθ/dt)=0.5h 疑?? 這不就是kepler's law嗎.. 挖塞,,,被我'證明'出來了耶.... 當然....我可以從牛頓推到這邊...當然可以從這邊推回去'證明'牛二.... (4) 再由dr/dt微分兩次可以得到h，r，θ等相當恐怖一陀非常長的式子 然後還要代換一堆有的沒的..... 然後這時加入m，F，Me(地球質量，定點質量) 因為實在是太恐怖了...我自己都不敢再po了...請原諒我...... 最後導出萬有引力公式..... (5) 為了描述此兩點之間運動的關係，在此時還必須加入令一個角度條件(相位角) 然後再解出非常非常恐怖恐怖，會死人的微分方程的齊次解與通解.... 之後定義出有些變數為離心率e (6) 最後再將所有定義過的東西統合，再把速度條件v，位置條件r，初始速度條件v0 初始位置條件r0加入，然後也是解來解去 可以得到其軌道方程式 1/r=1/r0*[1-GMe/r0/v0^2]*cosθ+GMe/r0^2/v0^2 離心率e=1/r0*[1-GMe/r0/v0^2]*h^2/GMe 若e==0 質點運動==圓 e==1 拋物線 e<1 橢圓 e>1 雙曲線 (7) 後面還有一堆很恐怖的東西 再寫下去沒有意義了 有興趣的人 開學了 嚇一嚇對學業會有進步的... -- ▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅ 內容概述:心情雜記，flash作品，midi作品，環島遊記，雜項教學，文章創作 ▃▄▅▆▇█▇▆▅▄▃▂▁▂▃▄▅▆▇█▇▆▅▄▃▂▁▂▃▄▅▆▇█▇▆▅▄▃ --

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