※ 引述《[email protected] (kuso 烟酒生)》之铭言： : ※ 引述《[email protected] (学物理ㄉ小小孩)》之铭言： : : 我们老师就有教...那时候我还特地去翻微积分的书来看 : 那种 "证明" 看看就好 : 光光要处理角动量守衡这件事，就够你玩了 : 很多东西远远超过高中生可以处理的能力 : ----------- : 行星运行轨道方程，只有在反比平方力下才可能出现漂亮的圆椎曲线 : 如果不是在空间不是三维的，而是其它维度 : 你求出来的轨道方程......嗯，一般的高中生，看到不要傻眼就很好了 : 当引力正比於 r^-1.99 或 r^-2.01，问题会变得很难处理 : 而当引力刚刚好正比於 r^-2 时，过程中你才有简化的空间 : 才能得到漂亮的圆椎曲线 : 之後才有科卜勒定律 : 要知道并运用这些技巧，并不只是高中课本所说的那些而已 : 事实上，物理系大二必修课：力学 : 在处理同一个问题时，里头技巧性的东西，已经让很多科班生一个头两个大了 恩...没错.... 我本来是想回po有关这部分的东西吓吓其他人...~"~ 可是我一边参考资料一边po的时候 又觉得好麻烦 麻烦到自己真的是吓到了(还没吓到别人先吓到自己~"~) 於是乎 我就这样文章po了又删，po了又放弃 这次,...我认真了...想被吓的人 请继续往下看 ps..对'符号'，'微积分'，'证明串'，"英文"，等有恐惧的人千万不要往下翻页了 ps..以下的讨论并非正规动力学课程的范围之内，而是编排在进阶动力学的范围。 ps..有高血压以及心脏病的人，也千万不要继续往下看了....否则後果自负 为了方便起见，有些可以明了的我就用英文带过... (0)以下为证明卫星(或质点)环绕行星(或定点)时，其受到中心力(central-force)运动 所影响的轨道方程证明。 就是说明newton's law and kepler's law之应用，之如 何衍生出其他更多的'证明'与'定律'，不探讨如何'证明'这两者。 (1)一个质点受到一个向某定点方向直线的力量而作运动，称为中心力运动(central- force motion)。 而中心力通常是由於电场或重力场所引起。 为了考虑这个质点P，m质量，以及受力F，我们必须定义一个好用 的座标系统，所以使用r，θ极座标来表示。其运动状态如下图: ↖切线方向 轨道 ╲ ￣￣￣/╲ / ╲◎质点P /dθ↙﹨ / ／ F \ / ／θ 其中质点到定点之距离定义为r ⊙定点----------------------------- Sigma Fr=-F=m*ar where ar=r方向之加速度 =m*[r''-r(θ')^2] 说明:Fr代表整个系统在此时，r方向之受力，由於质点与定点的关系，所以定义r的 方向为往外为'正'，故这时中心力(向心力)=-F=m*ar (牛二定律)!!! 你看看...牛二定律出来了.....牛二给他出来了..... 至於ar为什麽会=[r''-r(θ')^2] 如果不知道r''是什麽东西的人..也不用往下看了..因为是微分式~"~ 也就是为什麽高中课程简化有些'证明'的原因... 如果你是高中生...有兴趣的话...来...我解释一下好了 这个r就类似相对於直线运动里面的S，以前学过S(t)=V0t+0.5a*t^2 然後S(t)'=V0+at=V(t) S(t)''=V'(t)=a=a(t).....恩...如果这边看得懂我的解释的话 继续往下看 看不懂得同学就很抱歉了，这是理组同学才会学到的概念 所以说这个r就类似r(t)，r(t)'就类似v(t)'，r(t)''=v(t)'=a(t) 至於这个θ，也就是角度，聪明的人大概可以知道θ''会变成角加速度 所以θ'=角宿度，还记得有个公式mrw^2...对...跟这个很类似 还是不行的话..强迫ar=[r''-r(θ')^2]....不然往下就真的不知道怎麽讲下去了 要不然不要继续看下去，否则会内伤 Sigma Fθ=0=m*aθ=m(rθ''+2r'θ') 说明:看不懂的话..我也无能为力了... (2)这时我们可以得到两个式子 -F==m*[r''-r(θ')^2] 0==m(rθ''+2r'θ') 为了方便解联立微分方程，必须将简化之微分式做繁式，也就是将时间条件还原 可以得到新的两条式子 ╓ (d^2)r dθ ╕ -F==m║ -------- - r(-----)^2 ║=======>(a)式 ╙ dt^2 dt ╜ ╓ (d^2)θ dr dθ ╕ 0==m║ r------- + 2---- ---- ║=======>(b)式 ╙ dt^2 dt dt ╜ 由於(b)式中m=\=0，所以里面那一陀要==0 ╓ (d^2)θ dr dθ ╕ 1 ╓ (d^2)θ 2r*dr dθ ╕ ║ r------- + 2---- ---- ║=0= ---║r^2------- + ---- ---- ║ ╙ dt^2 dt dt ╜ r ╙ dt^2 dt dt ╜ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ f*g' + f'g =(fg)' 可见得f=r^2，g=dθ/dt 1 ╓ ╕ 1 ╓ dθ ╕' 1 d ╓ dθ ╕ 所以(b)式== ---║(fg)' ║ == ---║ r^2*----- ║ ==--- ----║ r^2*----- ║==0 r ╙ ╜ r ╙ dt ╜ r dt ╙ dt ╜ 光是这个步骤我一辈子也不可能想得出来..~"~ 此时，由(b)式最後衍生出来的微分式将其积分 可得r^2*(dθ/dt)=h where h is a constant. (3)现在再将刚刚那个简图思考一下，根据kepler's law可得 dA=0.5r^2*dθ 微小单位面积的计算在此应该不难懂，所以不多说... 将上式除以时间因素可得 dA/dt=0.5r^2*(dθ/dt)=0.5h 疑?? 这不就是kepler's law吗.. 挖塞,,,被我'证明'出来了耶.... 当然....我可以从牛顿推到这边...当然可以从这边推回去'证明'牛二.... (4) 再由dr/dt微分两次可以得到h，r，θ等相当恐怖一陀非常长的式子 然後还要代换一堆有的没的..... 然後这时加入m，F，Me(地球质量，定点质量) 因为实在是太恐怖了...我自己都不敢再po了...请原谅我...... 最後导出万有引力公式..... (5) 为了描述此两点之间运动的关系，在此时还必须加入令一个角度条件(相位角) 然後再解出非常非常恐怖恐怖，会死人的微分方程的齐次解与通解.... 之後定义出有些变数为离心率e (6) 最後再将所有定义过的东西统合，再把速度条件v，位置条件r，初始速度条件v0 初始位置条件r0加入，然後也是解来解去 可以得到其轨道方程式 1/r=1/r0*[1-GMe/r0/v0^2]*cosθ+GMe/r0^2/v0^2 离心率e=1/r0*[1-GMe/r0/v0^2]*h^2/GMe 若e==0 质点运动==圆 e==1 抛物线 e<1 椭圆 e>1 双曲线 (7) 後面还有一堆很恐怖的东西 再写下去没有意义了 有兴趣的人 开学了 吓一吓对学业会有进步的... -- ▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅▅ 内容概述:心情杂记，flash作品，midi作品，环岛游记，杂项教学，文章创作 ▃▄▅▆▇█▇▆▅▄▃▂▁▂▃▄▅▆▇█▇▆▅▄▃▂▁▂▃▄▅▆▇█▇▆▅▄▃ --

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