※ 引述《couch》之銘言： 接下來再回到以下方程 Ａ(x) f(x) = λ f(x) 我們知道這是個 eigenvalue problem 所得到的解，配合邊界條件，大部分的狀況下，λ的值是離散的 由此方程，我們會算出一堆離散的λ1, λ2, λ3.... 如果再配合其它變數 (y, z... etc)，所算出來的，且離散的 eigenvalue 你會發現，原本你所想要解的偏微分方程，可以轉化為以下形式 Ｄ(x, y, ...) g(x, y, ...) = λ g(x, y, ...) Ｄ是線性運算子，λ是一常數 這裡的λ也是離散的，是由分離變數法，由不同變數求得的 eigenvalue 組合運算而成的 這裡得到一個很重要的觀念：mode 每個λ所對應到的 eigen function g 通常，我們會賦與它一個物理含義：模態 模態的概念到處可見： 分子/晶格振動 波導管中的電磁波 量子力學的 eigenstate .... ---------- 實際的解是由基底作線性疊加而成的 在物理上，就是實際的解，是由不同模態組合而成的 而 eigenvalue λ 通常代表一個我們所關心的物理量 例如，能量，角動量，波速.... 等 把這些概念對應到不同的應用領域，就會發現不同的物理意含 ---------- 分離變數法會與模態扯上關係，乍看之下好像很虛無漂緲 但如果我們仔細檢視解問題的步驟，這件事其實就變得滿直覺的 它們是由 eigenvalue problem 當中間的媒介 > ※ 引述《[email protected] (vee vee vee vee)》之銘言： > > 第一次聽到這種說法 感覺很新鮮 小時候基本上是管他三七二十一算出答案 > > 就不管了 現在年紀大了才知道要多想 不知道您上述的講法是從哪本書看來 > > 的 想找來翻翻 > > by Cheng Cosine > > Jun/07/2k3 Ut > mmm.... > 這些是老師上課提到的觀念 > 我不知道書找不找的到 > 但講一些我聽到的東西好了 > 像在解擴散的Fick's second law時 > short time會用Green's function的方法解 > 解出所謂的thin film solution(是個Gaussian function) > 然後再利用boundary condition來決定要怎麼把這些Gaussian functin加起來 > long time時則用分離變變數(跟前面提到的decouple有關) > 分完了你愛用哪種transform或級數展開把解算出來就隨便你囉 > 這兩種方法的不同除了以上所說的 > 還有一個就是級數要收斂的問題 > 倒過來用應該也是可以解 > 只是寫出來的解會寫到手軟還不一定收斂得下來 > 量子力學的話會瞰的解釋(以氫原子來說) > 單從分離變數方法來看 > 可能就只能說是數學上解pde的手法 > 但是因為氫原子是central force problem > radial的部分的operator(這我沒聽過有名字) > 和L^2 , Lz三者是commute > 所以三者各自的eigentfunction可以分開來解 > 而且可以用乘法湊起來 > 從operator的觀點來看就可以去interpret分離變數法 > 但我覺得以上只是物理各領域中的不同看法 > 重點應該是用分離變數法解出來的解可以用來展開任何可能的解 > 所以管他解出來對不對 > 反正對的答案最後一定可以湊出來就好啦 -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免費撥接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ 電話:40586000 帳號:kkcity 密碼:kkcity -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免費撥接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ http://www.kkcity.com.tw/freeisp/