※ 引述《couch》之铭言： 接下来再回到以下方程 Ａ(x) f(x) = λ f(x) 我们知道这是个 eigenvalue problem 所得到的解，配合边界条件，大部分的状况下，λ的值是离散的 由此方程，我们会算出一堆离散的λ1, λ2, λ3.... 如果再配合其它变数 (y, z... etc)，所算出来的，且离散的 eigenvalue 你会发现，原本你所想要解的偏微分方程，可以转化为以下形式 Ｄ(x, y, ...) g(x, y, ...) = λ g(x, y, ...) Ｄ是线性运算子，λ是一常数 这里的λ也是离散的，是由分离变数法，由不同变数求得的 eigenvalue 组合运算而成的 这里得到一个很重要的观念：mode 每个λ所对应到的 eigen function g 通常，我们会赋与它一个物理含义：模态 模态的概念到处可见： 分子/晶格振动 波导管中的电磁波 量子力学的 eigenstate .... ---------- 实际的解是由基底作线性叠加而成的 在物理上，就是实际的解，是由不同模态组合而成的 而 eigenvalue λ 通常代表一个我们所关心的物理量 例如，能量，角动量，波速.... 等 把这些概念对应到不同的应用领域，就会发现不同的物理意含 ---------- 分离变数法会与模态扯上关系，乍看之下好像很虚无漂缈 但如果我们仔细检视解问题的步骤，这件事其实就变得满直觉的 它们是由 eigenvalue problem 当中间的媒介 > ※ 引述《[email protected] (vee vee vee vee)》之铭言： > > 第一次听到这种说法 感觉很新鲜 小时候基本上是管他三七二十一算出答案 > > 就不管了 现在年纪大了才知道要多想 不知道您上述的讲法是从哪本书看来 > > 的 想找来翻翻 > > by Cheng Cosine > > Jun/07/2k3 Ut > mmm.... > 这些是老师上课提到的观念 > 我不知道书找不找的到 > 但讲一些我听到的东西好了 > 像在解扩散的Fick's second law时 > short time会用Green's function的方法解 > 解出所谓的thin film solution(是个Gaussian function) > 然後再利用boundary condition来决定要怎麽把这些Gaussian functin加起来 > long time时则用分离变变数(跟前面提到的decouple有关) > 分完了你爱用哪种transform或级数展开把解算出来就随便你罗 > 这两种方法的不同除了以上所说的 > 还有一个就是级数要收敛的问题 > 倒过来用应该也是可以解 > 只是写出来的解会写到手软还不一定收敛得下来 > 量子力学的话会瞰的解释(以氢原子来说) > 单从分离变数方法来看 > 可能就只能说是数学上解pde的手法 > 但是因为氢原子是central force problem > radial的部分的operator(这我没听过有名字) > 和L^2 , Lz三者是commute > 所以三者各自的eigentfunction可以分开来解 > 而且可以用乘法凑起来 > 从operator的观点来看就可以去interpret分离变数法 > 但我觉得以上只是物理各领域中的不同看法 > 重点应该是用分离变数法解出来的解可以用来展开任何可能的解 > 所以管他解出来对不对 > 反正对的答案最後一定可以凑出来就好啦 -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免费拨接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ 电话:40586000 帐号:kkcity 密码:kkcity -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免费拨接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ http://www.kkcity.com.tw/freeisp/