※ 引述《couch》之銘言： 我們知道，使用分離變數法時，座標的選取與問題的對稱性習習相關 直角座標比較單純，因為使用分離變數法時，方程的長像比較簡單 ---------- 圓柱座標與球座標似乎就有點複雜了 ---------- 通常，在解圓柱對稱的問題時 我們當然二話不說使用圓柱座標解 使用分離變數法，對於 z 軸與φ軸上的微分方程，其長像通常很簡單 但在 r軸 的微分方程，這個微分方程的長像表面上看起來好像不會太難 但很不幸地，它與一般的常係數微分方程，或其它可以轉換成常係數的微分方程形式 都有些許的差異...... 所以我們無法使用 Laplace tx 或 Fourier tx 這類葵花寶典.... 其實，在這裡所遇到的方程，其解，就是曾令一堆理工科學生頭大的 Bessel fx 除了 Jn(x)，還有 In(x)...... 不過很幸運地，Bessel 他早在十九世紀時 就幫我們整理好 Bessel fx 的許多代數法則 再加上許多後人的努力，我們解問題時 幾乎可以直接套用前人留下來的甜美果實 ---------- 球對稱的問題，嗯，我們發現，當使用球座標，利用分離變數法計算時 如果偏微分方程是球對稱，那整個偏微分方程拆成 R 軸的部分與 (θ,φ) 軸的部分 在 R 軸上的方程與原偏微分方程的形式相關 所以它的解是 case by case，不過都不會太複雜 以常見的二次偏微分方程而言，球對稱的方程在 x, y, z 方向 都是 ▽^2 + f(r)，而其它非 x, y, z 軸則是看狀況 因為如此，如果把整個方程改用球座標描述 我們會發現一件很好玩的事：在 (θ,φ) 軸的方程，與原偏微分方程無關 這是一件很美妙的事，為什麼呢，就是 我們今天可能在解這個球對稱問題，明天解那個球對稱問題 但問題無論如何變化，當我使用分離變數法時 不同問題在 (θ,φ) 軸上的方程竟然都長得一模一樣!!!! 換句話說，所有繁重的工作，我們只要在第一次花力氣完成即可 當然，這個工作已經被完成了，長像與 Legendre polynomail 有關係 （其實就是一堆 sin cos 之間的轉換） 誇張一點的，只要把解的形式背下來（我背不起來，嗚嗚 :~~） 只要遇到球對稱問題就可以直接拿來套用 其實，在 (θ,φ) 軸上的方程解 與量子系統的角動量量子化與磁量子化的形式很像 剩下的，就是 R 軸上的方程了.... ---------- J. J. Sakurai 那本書中，對於球座標相關的東西，講得滿仔細的 由於處理的是量子系統，除了考慮方程解 (eigenstate, eigenket) 之外 還要考慮 operator 由於 J 表示角動量，是空間旋轉的 generator 所以既然是討論球對稱(空間旋轉不變)問題 所以被拿來玩的 operator 就是 J 在這個狀況下，要多做一些工作，用來觀察 J 的變化 整個架構引入 spherical tensor 的觀念，用來處理 J 當然在 (θ,φ) 軸上的方程解也可以由 spherical tensor 直接處理 因為量子系統中，有所謂 "半整數自旋" 這件事 (電子的自旋就是 1/2) 所以，原本 (θ,φ) 軸上的方程解不夠用 (因為只能處理整數自旋的情形) 對於半整數自旋的粒子，就得藉重 spherical tensor 加以處理了 > ※ 引述《[email protected] (vee vee vee vee)》之銘言： > > 第一次聽到這種說法 感覺很新鮮 小時候基本上是管他三七二十一算出答案 > > 就不管了 現在年紀大了才知道要多想 不知道您上述的講法是從哪本書看來 > > 的 想找來翻翻 > > by Cheng Cosine > > Jun/07/2k3 Ut > mmm.... > 這些是老師上課提到的觀念 > 我不知道書找不找的到 > 但講一些我聽到的東西好了 > 像在解擴散的Fick's second law時 > short time會用Green's function的方法解 > 解出所謂的thin film solution(是個Gaussian function) > 然後再利用boundary condition來決定要怎麼把這些Gaussian functin加起來 > long time時則用分離變變數(跟前面提到的decouple有關) > 分完了你愛用哪種transform或級數展開把解算出來就隨便你囉 > 這兩種方法的不同除了以上所說的 > 還有一個就是級數要收斂的問題 > 倒過來用應該也是可以解 > 只是寫出來的解會寫到手軟還不一定收斂得下來 > 量子力學的話會瞰的解釋(以氫原子來說) > 單從分離變數方法來看 > 可能就只能說是數學上解pde的手法 > 但是因為氫原子是central force problem > radial的部分的operator(這我沒聽過有名字) > 和L^2 , Lz三者是commute > 所以三者各自的eigentfunction可以分開來解 > 而且可以用乘法湊起來 > 從operator的觀點來看就可以去interpret分離變數法 > 但我覺得以上只是物理各領域中的不同看法 > 重點應該是用分離變數法解出來的解可以用來展開任何可能的解 > 所以管他解出來對不對 > 反正對的答案最後一定可以湊出來就好啦 -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免費撥接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ 電話:40586000 帳號:kkcity 密碼:kkcity -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免費撥接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ http://www.kkcity.com.tw/freeisp/ -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免費撥接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ 電話:40586000 帳號:kkcity 密碼:kkcity