※ 引述《couch》之铭言： 我们知道，使用分离变数法时，座标的选取与问题的对称性习习相关 直角座标比较单纯，因为使用分离变数法时，方程的长像比较简单 ---------- 圆柱座标与球座标似乎就有点复杂了 ---------- 通常，在解圆柱对称的问题时 我们当然二话不说使用圆柱座标解 使用分离变数法，对於 z 轴与φ轴上的微分方程，其长像通常很简单 但在 r轴 的微分方程，这个微分方程的长像表面上看起来好像不会太难 但很不幸地，它与一般的常系数微分方程，或其它可以转换成常系数的微分方程形式 都有些许的差异...... 所以我们无法使用 Laplace tx 或 Fourier tx 这类葵花宝典.... 其实，在这里所遇到的方程，其解，就是曾令一堆理工科学生头大的 Bessel fx 除了 Jn(x)，还有 In(x)...... 不过很幸运地，Bessel 他早在十九世纪时 就帮我们整理好 Bessel fx 的许多代数法则 再加上许多後人的努力，我们解问题时 几乎可以直接套用前人留下来的甜美果实 ---------- 球对称的问题，嗯，我们发现，当使用球座标，利用分离变数法计算时 如果偏微分方程是球对称，那整个偏微分方程拆成 R 轴的部分与 (θ,φ) 轴的部分 在 R 轴上的方程与原偏微分方程的形式相关 所以它的解是 case by case，不过都不会太复杂 以常见的二次偏微分方程而言，球对称的方程在 x, y, z 方向 都是 ▽^2 + f(r)，而其它非 x, y, z 轴则是看状况 因为如此，如果把整个方程改用球座标描述 我们会发现一件很好玩的事：在 (θ,φ) 轴的方程，与原偏微分方程无关 这是一件很美妙的事，为什麽呢，就是 我们今天可能在解这个球对称问题，明天解那个球对称问题 但问题无论如何变化，当我使用分离变数法时 不同问题在 (θ,φ) 轴上的方程竟然都长得一模一样!!!! 换句话说，所有繁重的工作，我们只要在第一次花力气完成即可 当然，这个工作已经被完成了，长像与 Legendre polynomail 有关系 （其实就是一堆 sin cos 之间的转换） 夸张一点的，只要把解的形式背下来（我背不起来，呜呜 :~~） 只要遇到球对称问题就可以直接拿来套用 其实，在 (θ,φ) 轴上的方程解 与量子系统的角动量量子化与磁量子化的形式很像 剩下的，就是 R 轴上的方程了.... ---------- J. J. Sakurai 那本书中，对於球座标相关的东西，讲得满仔细的 由於处理的是量子系统，除了考虑方程解 (eigenstate, eigenket) 之外 还要考虑 operator 由於 J 表示角动量，是空间旋转的 generator 所以既然是讨论球对称(空间旋转不变)问题 所以被拿来玩的 operator 就是 J 在这个状况下，要多做一些工作，用来观察 J 的变化 整个架构引入 spherical tensor 的观念，用来处理 J 当然在 (θ,φ) 轴上的方程解也可以由 spherical tensor 直接处理 因为量子系统中，有所谓 "半整数自旋" 这件事 (电子的自旋就是 1/2) 所以，原本 (θ,φ) 轴上的方程解不够用 (因为只能处理整数自旋的情形) 对於半整数自旋的粒子，就得藉重 spherical tensor 加以处理了 > ※ 引述《[email protected] (vee vee vee vee)》之铭言： > > 第一次听到这种说法 感觉很新鲜 小时候基本上是管他三七二十一算出答案 > > 就不管了 现在年纪大了才知道要多想 不知道您上述的讲法是从哪本书看来 > > 的 想找来翻翻 > > by Cheng Cosine > > Jun/07/2k3 Ut > mmm.... > 这些是老师上课提到的观念 > 我不知道书找不找的到 > 但讲一些我听到的东西好了 > 像在解扩散的Fick's second law时 > short time会用Green's function的方法解 > 解出所谓的thin film solution(是个Gaussian function) > 然後再利用boundary condition来决定要怎麽把这些Gaussian functin加起来 > long time时则用分离变变数(跟前面提到的decouple有关) > 分完了你爱用哪种transform或级数展开把解算出来就随便你罗 > 这两种方法的不同除了以上所说的 > 还有一个就是级数要收敛的问题 > 倒过来用应该也是可以解 > 只是写出来的解会写到手软还不一定收敛得下来 > 量子力学的话会瞰的解释(以氢原子来说) > 单从分离变数方法来看 > 可能就只能说是数学上解pde的手法 > 但是因为氢原子是central force problem > radial的部分的operator(这我没听过有名字) > 和L^2 , Lz三者是commute > 所以三者各自的eigentfunction可以分开来解 > 而且可以用乘法凑起来 > 从operator的观点来看就可以去interpret分离变数法 > 但我觉得以上只是物理各领域中的不同看法 > 重点应该是用分离变数法解出来的解可以用来展开任何可能的解 > 所以管他解出来对不对 > 反正对的答案最後一定可以凑出来就好啦 -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免费拨接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ 电话:40586000 帐号:kkcity 密码:kkcity -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免费拨接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ http://www.kkcity.com.tw/freeisp/ -- ┌─────◆ＫＫＣＩＴＹ◆─────┐ ╱ ╱ ￣ ▌￣ ￣ ╲╱ ＢＢＳ 城邦 │ bbs.kkcity.com.tw │ ╲ ╲ ╴ ▌ ▌ ▏ ＫＫ免费拨接 └──《From:61.230.14.45 》──┘ 电话:40586000 帐号:kkcity 密码:kkcity